ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 555 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$;
б) $x^4 + 8x^2 — 9 = 0$;
в) $9x^4 — 82x^2 + 9 = 0$;
г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0$.

а) $x^4-6x^2+8=0$

Замена: $x^2=y$;

$$y^2-6y+8=0$$

$$$$$$D=9-8=1$$

$$$$$$y_1=3-1=2,y_2=3+1=4$$

Подставим:

$$x^2=2,x^2=4$$

$$$$$$x=\pm \sqrt{2},x=\pm 2$$

Ответ: $x=\pm \sqrt{2}$; $x=\pm 2$.

б) $x^4+8x^2-9=0$

Замена: $x^2=y$;

$$y^2+8y-9=0$$

$$$$$$D=16+9=25=\sqrt{25}=5$$

$$$$$$y_1=-4-5=-9,y_2=-4+5=1$$

Подставим:

$$x^2=-9\text{— корней нет};$$$$x^2=1$$$$x=\pm 1$$

Ответ: $x=\pm 1$.

в) $9x^4-82x^2+9=0$

Замена: $x^2=y$;

$$9y^2-82y+9=0$$

$$$$$$D=6724-4\cdot 9\cdot 9=6400=\sqrt{6400}=80$$

$$$$$$y_1=\frac{82-80}{2\cdot 9}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9},y_2=\frac{82+80}{2\cdot 9}=\frac{162}{18}=9$$

Подставим:

$$x^2=\frac{1}{9},x^2=9$$$$x=\pm \frac{1}{3},x=\pm 3$$

Ответ: $x=\pm \frac{1}{3}$; $x=\pm 3$.

г) $4x^4+9x^2+2=0$

Замена: $x^2=y$;

$$4y^2+9y+2=0$$

$$$$$$D=81-4\cdot 4\cdot 2=49=\sqrt{49}=7$$

$$$$$$y_1=\frac{-9-7}{2\cdot 4}=\frac{-16}{8}=-2,y_2=\frac{-9+7}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$$

Подставим:

$$x^2=-2\text{— корней нет};$$$$x^2=-\frac{1}{4}\text{— корней нет}\mathrm{.}$$

Ответ: корней нет.

а) $x^4-6x^2+8=0$

Начнем с замены $x^2=y$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2-6y+8=0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{4}=2$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-6)-2}{2}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$$$$y_2=\frac{-(-6)+2}{2}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Подставим обратно $y=x^2$:

$$x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$$$x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$$

Ответ: $x=\pm \sqrt{2}$; $x=\pm 2$.

б) $x^4+8x^2-9=0$

Выполним замену $x^2=y$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2+8y-9=0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{100}=10$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1=\frac{-8-10}{2}=\frac{-18}{2}=-9$$$$y_2=\frac{-8+10}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Подставим обратно $y=x^2$:

$$x^2=-9\Rightarrow \text{корней нет (так как }{x}^2\text{ не может быть отрицательным)}\mathrm{.}$$$$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$$

Ответ: $x=\pm 1$.

в) $9x^4-82x^2+9=0$

Выполним замену $x^2=y$, чтобы упростить уравнение:

$$9y^2-82y+9=0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=(-82{)}^2-4\cdot 9\cdot 9=6724-324=6400$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{6400}=80$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1=\frac{82-80}{2\cdot 9}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$$$$y_2=\frac{82+80}{2\cdot 9}=\frac{162}{18}=9$$

Подставим обратно $y=x^2$:

$$x^2=\frac{1}{9}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{3}$$$$x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$$

Ответ: $x=\pm \frac{1}{3}$; $x=\pm 3$.

г) $4x^4+9x^2+2=0$

Выполним замену $x^2=y$, чтобы упростить уравнение:

$$4y^2+9y+2=0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=9^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{49}=7$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1=\frac{-9-7}{2\cdot 4}=\frac{-16}{8}=-2$$$$y_2=\frac{-9+7}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$$

Подставим обратно $y=x^2$:

$$x^2=-2\Rightarrow \text{корней нет (так как }{x}^2\text{ не может быть отрицательным)}\mathrm{.}$$$$x^2=-\frac{1}{4}\Rightarrow \text{корней нет (так как }{x}^2\text{ не может быть отрицательным)}\mathrm{.}$$

Ответ: корней нет.