ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 553 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите степень уравнения $(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3) = 0$.
Запишите формулы Виета для данного уравнения.

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0;$$

$$$$$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x^2-x{x}_1-x{x}_2+x_1{x}_2)(x-x_3)=$$

$$$$$$=x^3-x^2{x}_1-x^2{x}_2+x{x}_1{x}_2-x^2{x}_3+x{x}_1{x}_3+x{x}_2{x}_3-x_1{x}_2{x}_3=$$

$$$$$$=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)x-x_1{x}_2{x}_3\mathrm{.}$$

Имеет уравнение:

$$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)x-x_1{x}_2{x}_3=0$$

Данное уравнение третьей степени имеет вид:

$$x^3+p{x}^2+qx+r=0.$$

Формулы:

$$x_1+x_2+x_3=-p;$$

$$$$$$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=q;$$

$$$$$$x_1{x}_2{x}_3=-r\mathrm{.}$$

Шаг 1: Разложение выражения $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Мы начинаем с разложения произведения трёх скобок $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$:

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$$

Сначала раскроем произведение первых двух скобок:

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-x(x_1+x_2)+x_1{x}_2=x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2$$

Теперь умножим полученный результат на $(x-x_3)$:

$$(x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2)(x-x_3)$$

Раскроем скобки:

$$=x^3-x^2{x}_3-x^2{x}_1-x^2{x}_2+x{x}_1{x}_2-x{x}_3{x}_1-x{x}_3{x}_2+x_1{x}_2{x}_3$$

Шаг 2: Приведение подобных членов

Теперь приведем подобные члены в результате раскрытия скобок:

$$=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)x-x_1{x}_2{x}_3$$

Таким образом, разложенное уравнение будет иметь вид:

$$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)x-x_1{x}_2{x}_3=0$$

Шаг 3: Уравнение третьей степени

Это уравнение третьей степени имеет стандартную форму:

$$x^3+p{x}^2+qx+r=0$$

где:

• $p=-(x_1+x_2+x_3)$,
• $q=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$,
• $r=-x_1{x}_2{x}_3$.

Шаг 4: Формулы для коэффициентов

Из уравнения можно вывести формулы для коэффициентов $p$, $q$ и $r$, выраженные через корни уравнения $x_1$, $x_2$ и $x_3$:

$x_1+x_2+x_3=-p$,

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=q$,

$x_1{x}_2{x}_3=-r$.

Шаг 5: Подтверждение связи между коэффициентами и корнями

Мы доказали, что коэффициенты уравнения третьей степени связаны с корнями следующим образом:

• Сумма корней $x_1+x_2+x_3$ равна $-p$,
• Сумма произведений пар корней $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3$ равна $q$,
• Произведение всех корней $x_1{x}_2{x}_3$ равно $-r$.

Таким образом, мы пришли к полному разложению многочлена и установили связи между его корнями и коэффициентами.