ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 552 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) $x^4 — 2x^3 + 2x — 1$;
б) $x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6$;
в) $4x^3 + 21x^2 — 25$;
г) $5x^3 + 3x^2 — 5x — 3$.

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x-1$:

$$x^4-2x^3+2x-1=(x^4-x^3)-(x^3-x^2)-(x^2-2x+1)=$$

$$$$$$=x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x-1{)}^2=(x-1)(x^3-x^2-x+1)=$$

$$$$$$=(x-1)((x^3-x^2)-(x-1))=(x-1)(x^2(x-1)-(x-1))=$$

$$$$$$=(x-1{)}^2(x^2-1)=(x-1{)}^3(x+1)\mathrm{.}$$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$, выделяем $x+1$:

$$x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x^4+x^3)-(7x^2+7x)-6(x+1)=$$

$$$$$$=x^3(x+1)-7x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x^3-7x-6)=$$

$$$$$$=(x+1)((x^3+x^2)-(x^2+x)-6(x+1))=$$

$$$$$$=(x+1)(x^2(x+1)-x(x+1)-6(x+1))=$$

$$$$$$=(x+1)(x+1)(x^2-x-6)=(x+1{)}^2(x-3)(x+2)\mathrm{.}$$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x-1$:

$$4x^3+21x^2-25=(4x^3-4x^2)+25(x^2-1)=$$

$$$$$$=4x^2(x-1)+25(x-1)(x+1)=(x-1)(4x^2+25x+25)\mathrm{.}$$

Решаем квадратное уравнение $4x^2+25x+25=0$:

$$D=625-4\cdot 4\cdot 25=225=\sqrt{225}=15.$$

$$$$$$x_1=\frac{-25-15}{4\cdot 2}=\frac{-40}{8}=-5,x_2=\frac{-25+15}{8}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$4x^3+21x^2-25=(x-1)(4x+5)(x+5)\mathrm{.}$$

г) $5x^3+3x^2-5x-3=x^2(5x+3)-$

$(5x+3)=(5x+3)(x^2-1)=(5x+3)(x-1)(x+1)$.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle (x-1{)}^3(x+1)}}$.

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x-1$:

Начнем с того, что разложим многочлен $x^4-2x^3+2x-1$ на более простые выражения, сгруппировав члены:

$$x^4-2x^3+2x-1=(x^4-x^3)-(x^3-x^2)-(x^2-2x+1)$$

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ из каждой из групп:

$$=x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x-1{)}^2$$

Теперь видим, что $(x-1)$ можно вынести как общий множитель:

$$=(x-1)(x^3-x^2-x+1)$$

Далее группируем члены в выражении $x^3-x^2-x+1$:

$$=(x-1)((x^3-x^2)-(x-1))$$

Вынесем $(x-1)$ из второго выражения:

$$=(x-1)(x^2(x-1)-(x-1))$$

Мы видим, что снова можно вынести $(x-1)$:

$$=(x-1{)}^2(x^2-1)$$

Теперь используем формулу разности квадратов:

$$=(x-1{)}^2(x-1)(x+1)$$

В конечном итоге получаем:

$$=(x-1{)}^3(x+1)$$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$, выделяем $x+1$:

Начнем с разложения многочлена $x^4+x^3-7x^2-13x-6$:

$$x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x^4+x^3)-(7x^2+7x)-6(x+1)$$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ из групп:

$$=x^3(x+1)-7x(x+1)-6(x+1)$$

Теперь выделим $(x+1)$ как общий множитель:

$$=(x+1)(x^3-7x-6)$$

Разложим кубическое выражение $x^3-7x-6$:

$$=(x+1)((x^3+x^2)-(x^2+x)-6(x+1))$$

Далее группируем и выносим $(x+1)$:

$$=(x+1)(x^2(x+1)-x(x+1)-6(x+1))$$

Снова выделяем $(x+1)$:

$$=(x+1)(x+1)(x^2-x-6)$$

Разлагаем $x^2-x-6$ на множители:

$$=(x+1{)}^2(x-3)(x+2)$$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x-1$:

Начнем с разложения многочлена $4x^3+21x^2-25$:

$$4x^3+21x^2-25=(4x^3-4x^2)+25(x^2-1)$$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$$=4x^2(x-1)+25(x-1)(x+1)$$

Теперь выделим общий множитель $(x-1)$:

$$=(x-1)(4x^2+25x+25)$$

Решаем квадратное уравнение $4x^2+25x+25=0$:

Вычислим дискриминант:

$$D=625-4\cdot 4\cdot 25=225=\sqrt{225}=15$$

Найдем корни:

$$x_1=\frac{-25-15}{4\cdot 2}=\frac{-40}{8}=-5,x_2=\frac{-25+15}{8}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}$$

Таким образом, уравнение $4x^3+21x^2-25$ имеет корни:

$$(x-1)(4x+5)(x+5)$$

г) Разложим $5x^3+3x^2-5x-3$:

Группируем и выделяем множители:

$$5x^3+3x^2-5x-3=x^2(5x+3)-(5x+3)$$

Вынесем общий множитель:

$$=(5x+3)(x^2-1)$$

Используем формулу разности квадратов:

$$=(5x+3)(x-1)(x+1)$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle (x-1{)}^3(x+1)}}$.