ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 551 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^4 + 2x^3 — x — 2 = 0$;
б) $x^3 — 12x^2 + 9x + 22 = 0$;
в) $2x^3 — 7x^2 + 9 = 0$;
г) $5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = 0$.

a) $x^4+2x^3-x-2=0$

$x^3(x+2)-(x+2)=0$

$(x+2)(x^3-1)=0$

$(x+2)(x-1)(x^2+x+1)=0$

$x+2=0,x-1=0,x^2+x+1=0$

$x=-2,x=1,\text{корней нет}$.

Ответ: $x=1$; $x=-2$.

б) $x^3-12x^2+9x+22=0$

Уравнение имеет корень $x=-1$, выделяем $x+1$:

$x^3-12x^2+9x+22=(x^3+x^2)-13x^2+9x+22=$

$=x^2(x+1)-13x(x+1)+22(x+1)=(x+1)(x^2-13x+22)=$

$=(x+1)(x-11)(x-2)$.

Тогда:

$(x+1)(x-11)(x-2)=0$

$x=-1,x=11,x=2$.

Ответ: $x=-1$; $x=2$; $x=11$.

в) $2x^3-7x^2+9=0$

Уравнение имеет корень $x=-1$, выделяем $x+1$:

$2x^3-7x^2+9=2x^3+2x^2-9x^2+9=2x^2(x+1)-9(x^2-1)=$

$=(x+1)(2x^2-9x+9)$.

$2x^2-9x+9=0$

$D=81-4\cdot 2\cdot 9=9=\sqrt{9}=3$.

$x_1=\frac{9-3}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},x_2=\frac{9+3}{4}=\frac{12}{4}=3$.

Тогда, уравнение $2x^3-7x^2+9=0$ имеет корни: $-1$; $\frac{3}{2}$; $3$.

Ответ: $x=-1$; $x=\frac{3}{2}$; $x=3$.

г) $5x^3-54x^2+39x+10=0$

Уравнение имеет корень $x=1$, выделяем $x-1$:

$5x^3-54x^2+39x+10=(5x^3-5x^2)-49x^2+39x+10=$

$=5x^2(x-1)-49x(x-1)-10(x-1)=$

$=(x-1)(5x^2-49x-10)$.

$5x^2-49x-10=0$

$D=2401+4\cdot 5\cdot 10=2601=\sqrt{2601}=51$.

$x_1=\frac{49-51}{2\cdot 5}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5},x_2=\frac{49+51}{10}=\frac{100}{10}=10$.

Тогда, уравнение $5x^3-54x^2+39x+10=0$ имеет корни: $-\frac{1}{5}$; $1$; $10$.

Ответ: $x=-\frac{1}{5}$; $x=1$; $x=10$.

а) $x^4+2x^3-x-2=0$

Начнем с группировки членов:

$$x^3(x+2)-(x+2)=0$$

Вынесем общий множитель $(x+2)$:

$$(x+2)(x^3-1)=0$$

Разложим куб разности:

$$(x+2)(x-1)(x^2+x+1)=0$$

Теперь приравниваем каждый множитель к нулю:

$$x+2=0\Rightarrow x=-2$$$$x-1=0\Rightarrow x=1$$$$x^2+x+1=0$$

$$\text{не имеет действительных корней, так как дискриминант}\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3$$

Ответ: $x=1$; $x=-2$.

б) $x^3-12x^2+9x+22=0$

Начнем с подбора корня $x=-1$ и выделения $x+1$ как множителя:

$$x^3-12x^2+9x+22=(x^3+x^2)-13x^2+9x+22$$

Далее группируем:

$$=x^2(x+1)-13x(x+1)+22(x+1)$$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$$=(x+1)(x^2-13x+22)$$

Разложим квадратное уравнение:

$$x^2-13x+22=0$$

Дискриминант:

$$\mathrm{\Delta }=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 22=169-88=81$$

Корни:

$$x_1=\frac{13-\sqrt{81}}{2}=\frac{13-9}{2}=2,x_2=\frac{13+\sqrt{81}}{2}=\frac{13+9}{2}=11$$

Ответ: $x=-1$; $x=2$; $x=11$.

в) $2x^3-7x^2+9=0$

Начнем с подбора корня $x=-1$ и выделения $x+1$:

$$2x^3-7x^2+9=2x^3+2x^2-9x^2+9=2x^2(x+1)-9(x^2-1)$$

Группируем:

$$=(x+1)(2x^2-9x+9)$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$2x^2-9x+9=0$$

Дискриминант:

$$\mathrm{\Delta }=(-9{)}^2-4\cdot 2\cdot 9=81-72=9$$

Корни:

$$x_1=\frac{9-3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},x_2=\frac{9+3}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ответ: $x=-1$; $x=\frac{3}{2}$; $x=3$.

г) $5x^3-54x^2+39x+10=0$

Начнем с подбора корня $x=1$ и выделения $x-1$:

$$5x^3-54x^2+39x+10=(5x^3-5x^2)-49x^2+39x+10$$

Группируем:

$$=5x^2(x-1)-49x(x-1)-10(x-1)$$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$$=(x-1)(5x^2-49x-10)$$

Решим квадратное уравнение:

$$5x^2-49x-10=0$$

Дискриминант:

$$\mathrm{\Delta }=(-49{)}^2-4\cdot 5\cdot (-10)=2401+200=2601$$

Корни:

$$x_1=\frac{49-\sqrt{2601}}{10}=\frac{49-51}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5},$$

$$x_2=\frac{49+\sqrt{2601}}{10}=\frac{49+51}{10}=\frac{100}{10}=10$$

Ответ: $x=-\frac{1}{5}$; $x=1$; $x=10$.