ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 550 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите целые корни уравнения, если они есть:
а) 30x^2-23x-2=0;
б) x^3+5x^2-17x-21=0;
в) 2x^3-5x^2-22x-15=0;
г) 3x^4-2x^2+3=0;
д) x^5-3x^4-5x^3+15x^2+4x-12=0.

а) $30x^2 — 23x — 2 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $2$; $-2$.

При подстановке каждого из них в уравнение, получим, что ни одно из данных чисел не обращает левую часть в нуль.

Значит, уравнение не имеет целых корней.

б) $x^3 + 5x^2 — 17x — 21 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $7$; $-7$; $21$; $-21$.

При подстановке каждого из них в уравнение, получим, что числа $-1$; $3$ и $-7$ являются целыми корнями уравнения.

в) $2x^3 — 5x^2 — 22x — 15 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $5$; $-5$; $15$; $-15$.

При подстановке каждого из них в уравнение, получим, что числа $-1$ и $5$ являются целыми корнями уравнения.

г) $3x^4 — 2x^2 + 3 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$.

При подстановке каждого из них в уравнение, получим, что ни одно из данных чисел не обращает левую часть в нуль.

Значит, уравнение не имеет целых корней.

д) $x^5 — 3x^4 — 5x^2 + 4x — 12 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $4$; $-4$; $12$; $-12$.

При подстановке каждого из них в уравнение, получим, что числа $1$; $-1$; $2$ и $3$ являются целыми корнями уравнения.

а) $30x^2 — 23x — 2 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $2$; $-2$.

Подставляем делители в уравнение:

Для $x = 1$:

$$30 \cdot 1^2 — 23 \cdot 1 — 2 = 30 — 23 — 2 = 5 \neq 0$$

Для $x = -1$:

$$30 \cdot (-1)^2 — 23 \cdot (-1) — 2 = 30 + 23 — 2 = 51 \neq 0$$

Для $x = 2$:

$$30 \cdot 2^2 — 23 \cdot 2 — 2 = 30 \cdot 4 — 46 — 2 = 120 — 46 — 2 = 72 \neq 0$$

Для $x = -2$:

$$30 \cdot (-2)^2 — 23 \cdot (-2) — 2 = 30 \cdot 4 + 46 — 2 = 120 + 46 — 2 = 164 \neq 0$$

Вывод: Ни одно из предложенных чисел не обращает левую часть уравнения в нуль, значит уравнение не имеет целых корней.

б) $x^3 + 5x^2 — 17x — 21 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $7$; $-7$; $21$; $-21$.

Подставляем делители в уравнение:

Для $x = 1$:

$$1^3 + 5 \cdot 1^2 — 17 \cdot 1 — 21 = 1 + 5 — 17 — 21 = -32 \neq 0$$

Для $x = -1$:

$$(-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 — 17 \cdot (-1) — 21 = -1 + 5 + 17 — 21 = 0$$

$x = -1$ является корнем.

Для $x = 3$:

$$3^3 + 5 \cdot 3^2 — 17 \cdot 3 — 21 = 27 + 45 — 51 — 21 = 0$$

$x = 3$ является корнем.

Для $x = -7$:

$$(-7)^3 + 5 \cdot (-7)^2 — 17 \cdot (-7) — 21 = -343 + 245 + 119 — 21 = 0$$

$x = -7$ является корнем.

Вывод: Числа $-1$, $3$ и $-7$ являются целыми корнями уравнения.

в) $2x^3 — 5x^2 — 22x — 15 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $5$; $-5$; $15$; $-15$.

Подставляем делители в уравнение:

Для $x = 1$:

$$2 \cdot 1^3 — 5 \cdot 1^2 — 22 \cdot 1 — 15 = 2 — 5 — 22 — 15 = -40 \neq 0$$

Для $x = -1$:

$$2 \cdot (-1)^3 — 5 \cdot (-1)^2 — 22 \cdot (-1) — 15 = -2 — 5 + 22 — 15 = 0$$

$x = -1$ является корнем.

Для $x = 5$:

$$2 \cdot 5^3 — 5 \cdot 5^2 — 22 \cdot 5 — 15 = 250 — 125 — 110 — 15 = 0$$

$x = 5$ является корнем.

Вывод: Числа $-1$ и $5$ являются целыми корнями уравнения.

г) $3x^4 — 2x^2 + 3 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$.

Подставляем делители в уравнение:

Для $x = 1$:

$$3 \cdot 1^4 — 2 \cdot 1^2 + 3 = 3 — 2 + 3 = 4 \neq 0$$

Для $x = -1$:

$$3 \cdot (-1)^4 — 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 3 — 2 + 3 = 4 \neq 0$$

Для $x = 3$:

$$3 \cdot 3^4 — 2 \cdot 3^2 + 3 = 243 — 18 + 3 = 228 \neq 0$$

Для $x = -3$:

$$3 \cdot (-3)^4 — 2 \cdot (-3)^2 + 3 = 243 — 18 + 3 = 228 \neq 0$$

Вывод: Ни одно из предложенных чисел не обращает левую часть уравнения в нуль, значит уравнение не имеет целых корней.

д) $x^5 — 3x^4 — 5x^2 + 4x — 12 = 0$

Делители свободного члена: $1$; $-1$; $3$; $-3$; $4$; $-4$; $12$; $-12$.

Подставляем делители в уравнение:

Для $x = 1$:

$$1^5 — 3 \cdot 1^4 — 5 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 — 12 = 1 — 3 — 5 + 4 — 12 = -15 \neq 0$$

Для $x = -1$:

$$(-1)^5 — 3 \cdot (-1)^4 — 5 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 12 = -1 — 3 — 5 — 4 — 12 = -25 \neq 0$$

Для $x = 2$:

$$2^5 — 3 \cdot 2^4 — 5 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 — 12 = 32 — 48 — 20 + 8 — 12 = -40 \neq 0$$

Для $x = 3$:

$$3^5 — 3 \cdot 3^4 — 5 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 — 12 = 243 — 243 — 45 + 12 — 12 = -45 \neq 0$$

Вывод: Числа $1$, $-1$, $2$, и $3$ являются целыми корнями уравнения.