ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 546 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $x^4-5x^2+4=0$
Замена: $x^2=y$;
$y^2-5y+4=0$
$y_1{y}_2=4$, $y_1+y_2=5$;
$y_1=4$, $y_2=1$.
Подставим:
$x^2=4$, $x^2=1$
$x=\pm 2$, $x=\pm 1$.
$x^4-5x^2+4=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

б) $m^4-13m^2+36=0$
Замена: $m^2=x$;
$x^2-13x+36=0$
$x_1{x}_2=36$, $x_1+x_2=13$;
$x_1=9$, $x_2=4$.
Подставим:
$m^2=9$, $m^2=4$
$m=\pm 3$, $m=\pm 2$.
$m^4-13m^2+36=(m-3)(m+3)(m-2)(m+2)$.

в) $4x^4-32x^2=4x^2(x^2-8)=4x^2(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8})$.

г) $3x^4-75=3(x^4-25)=3(x^2-5)(x^2+5)=3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+5)$.

а) Рассмотрим уравнение $x^4-5x^2+4=0$. Заметим, что оно не является простым квадратным, но можно выполнить замену переменной. Пусть $y=x^2$. Тогда исходное уравнение примет вид $y^2-5y+4=0$. Это квадратное уравнение относительно $y$. По формулам Виета имеем: произведение корней $y_1{y}_2=4$, сумма корней $y_1+y_2=5$. Подбором получаем $y_1=4$, $y_2=1$. Возвращаемся к исходной переменной: если $x^2=4$, то $x=\pm 2$; если $x^2=1$, то $x=\pm 1$. Следовательно, корни уравнения $x=\pm 2,x=\pm 1$. Таким образом, многочлен разлагается на множители: $x^4-5x^2+4=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

б) Рассмотрим уравнение $m^4-13m^2+36=0$. Введём замену: пусть $x=m^2$. Тогда получаем квадратное уравнение $x^2-13x+36=0$. По формулам Виета: произведение корней равно $36$, сумма корней равна $13$. Подбором получаем $x_1=9$, $x_2=4$. Возвращаемся к переменной $m$: если $m^2=9$, то $m=\pm 3$; если $m^2=4$, то $m=\pm 2$. Таким образом, корни исходного уравнения $m=\pm 3,m=\pm 2$. Разложение: $m^4-13m^2+36=(m-3)(m+3)(m-2)(m+2)$.

в) Рассмотрим выражение $4x^4-32x^2$. Вынесем общий множитель: $4x^4-32x^2=4x^2(x^2-8)$. Получили произведение двух множителей: $4x^2$ и $x^2-8$. Далее разложим $x^2-8$ на линейные множители с использованием квадратного корня: $x^2-8=(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8})$. Тогда окончательное разложение: $4x^4-32x^2=4x^2(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8})$.

г) Рассмотрим выражение $3x^4-75$. Вынесем общий множитель $3$: $3x^4-75=3(x^4-25)$. Далее используем формулу разности квадратов: $x^4-25=(x^2{)}^2-5^2=(x^2-5)(x^2+5)$. Теперь $x^2-5$ можно дополнительно разложить на линейные множители: $x^2-5=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$. Тогда окончательное разложение имеет вид: $3x^4-75=3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x^2+5)$