ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 546 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Разложите на множители:
а) $x^4 — 5x^2 + 4$ ;
б) $m^4 — 13m^2 + 36$ ;
в) $4x^4 — 32x^2$ ;
г) $3x^4 — 75$ .

Краткий ответ:

а) $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$
Замена: $x^{2} = y$ ;
$y^{2} - 5 y + 4 = 0$
$y_{1} y_{2} = 4$ , $y_{1} + y_{2} = 5$ ;
$y_{1} = 4$ , $y_{2} = 1$ .
Подставим:
$x^{2} = 4$ , $x^{2} = 1$
$x = \pm 2$ , $x = \pm 1$ .
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1)$ .

б) $m^{4} - 13 m^{2} + 36 = 0$
Замена: $m^{2} = x$ ;
$x^{2} - 13 x + 36 = 0$
$x_{1} x_{2} = 36$ , $x_{1} + x_{2} = 13$ ;
$x_{1} = 9$ , $x_{2} = 4$ .
Подставим:
$m^{2} = 9$ , $m^{2} = 4$
$m = \pm 3$ , $m = \pm 2$ .
$m^{4} - 13 m^{2} + 36 = (m - 3) (m + 3) (m - 2) (m + 2)$ .

в) $4 x^{4} - 32 x^{2} = 4 x^{2} (x^{2} - 8) = 4 x^{2} (x - \sqrt{8}) (x + \sqrt{8})$ .

г) $3 x^{4} - 75 = 3 (x^{4} - 25) = 3 (x^{2} - 5) (x^{2} + 5) = 3 (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 5)$ .

Подробный ответ:

а) Рассмотрим уравнение $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ . Заметим, что оно не является простым квадратным, но можно выполнить замену переменной. Пусть $y = x^{2}$ . Тогда исходное уравнение примет вид $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ . Это квадратное уравнение относительно $y$ . По формулам Виета имеем: произведение корней $y_{1} y_{2} = 4$ , сумма корней $y_{1} + y_{2} = 5$ . Подбором получаем $y_{1} = 4$ , $y_{2} = 1$ . Возвращаемся к исходной переменной: если $x^{2} = 4$ , то $x = \pm 2$ ; если $x^{2} = 1$ , то $x = \pm 1$ . Следовательно, корни уравнения $x = \pm 2, x = \pm 1$ . Таким образом, многочлен разлагается на множители: $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1)$ .

б) Рассмотрим уравнение $m^{4} - 13 m^{2} + 36 = 0$ . Введём замену: пусть $x = m^{2}$ . Тогда получаем квадратное уравнение $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ . По формулам Виета: произведение корней равно $36$ , сумма корней равна $13$ . Подбором получаем $x_{1} = 9$ , $x_{2} = 4$ . Возвращаемся к переменной $m$ : если $m^{2} = 9$ , то $m = \pm 3$ ; если $m^{2} = 4$ , то $m = \pm 2$ . Таким образом, корни исходного уравнения $m = \pm 3, m = \pm 2$ . Разложение: $m^{4} - 13 m^{2} + 36 = (m - 3) (m + 3) (m - 2) (m + 2)$ .

в) Рассмотрим выражение $4 x^{4} - 32 x^{2}$ . Вынесем общий множитель: $4 x^{4} - 32 x^{2} = 4 x^{2} (x^{2} - 8)$ . Получили произведение двух множителей: $4 x^{2}$ и $x^{2} - 8$ . Далее разложим $x^{2} - 8$ на линейные множители с использованием квадратного корня: $x^{2} - 8 = (x - \sqrt{8}) (x + \sqrt{8})$ . Тогда окончательное разложение: $4 x^{4} - 32 x^{2} = 4 x^{2} (x - \sqrt{8}) (x + \sqrt{8})$ .

г) Рассмотрим выражение $3 x^{4} - 75$ . Вынесем общий множитель $3$ : $3 x^{4} - 75 = 3 (x^{4} - 25)$ . Далее используем формулу разности квадратов: $x^{4} - 25 = (x^{2})^{2} - 5^{2} = (x^{2} - 5) (x^{2} + 5)$ . Теперь $x^{2} - 5$ можно дополнительно разложить на линейные множители: $x^{2} - 5 = (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5})$ . Тогда окончательное разложение имеет вид: $3 x^{4} - 75 = 3 (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 5)$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1