ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 530 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ равна нулю, то число $1$ является его корнем.

2) Составьте квадратное уравнение, у которого один из корней равен $1$, и найдите второй корень этого уравнения.

3) Найдите устно корни следующих уравнений:
а) $x^2-1999x+1998=0$;
б) $x^2+2000x-2001=0$;
в) $8x^2-5x-3=0$;
г) $100x^2-150x+50=0$.

$\mathrm{1)\; a}{x}^2+bx+c=0,x_1=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение:
$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c=0$ — что и требовалось доказать.

2) Подберём три числа, сумма которых равна нулю:
$a=3,b=4,c=-7$.

Уравнение:
$3x^2+4x-7=0$.

Дискриминант:
$D=4^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100$.

$\sqrt{D}=10$.

Корни:
$x_1=\frac{-4-10}{2\cdot 3}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}$
$x_2=\frac{-4+10}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$.

Ответ: $x=-\frac{7}{3};x=1$

3) а) $x^2-1999x+1998=0$.

$a+b+c=1-1999+1998=0$, значит, $x_1=1$
Сумма корней: $x_1+x_2=1999$.
Подставляем: $1+x_2=1999\Rightarrow x_2=1998$.

Ответ: $x=1;x=1998$

б) $x^2+2000x-2001=0$.

$a+b+c=1+2000-2001=0$, значит, $x_1=1$.
Сумма корней: $x_1+x_2=-2000$.
Подставляем: $1+x_2=-2000\Rightarrow x_2=-2001$.

Ответ: $x=-2001;x=1$.

в) $8x^2-5x-3=0$.

Так как $a+b+c=8-5-3=0$, одним из корней является $x_1=1$.
Сумма корней равна $x_1+x_2=\frac{5}{8}$.
Подставим $x_1=1$: $1+x_2=\frac{5}{8}$.

Ответ: $x=1;x=-\frac{3}{8}$.

г) $100x^2-150x+50=0$.

Так как $a+b+c=100-150+50=0$, одним из корней является $x_1=1$.
Сумма корней равна $x_1+x_2=\frac{150}{100}=1,5$.
Подставим $x_1=1$: $1+x_2=1,5$.

Ответ: $x=1;x=0,5$.

$\mathrm{1)\; a}{x}^2+bx+c=0,x_1=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение:

Получим выражение:

$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=a+b+c=0$ — что и требовалось доказать.

2) Подберём три числа, сумма которых равна нулю:
$a=3,b=4,c=-7$.

Уравнение:
$3x^2+4x-7=0$.

Дискриминант:
$D=4^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100$.

$\sqrt{D}=10$.

Корни:
$x_1=\frac{-4-10}{2\cdot 3}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}$
$x_2=\frac{-4+10}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$.

Ответ: $x=-\frac{7}{3};x=1$

3) а) $x^2-1999x+1998=0$.

Получим выражение:

$a+b+c=1-1999+1998=0$, значит, $x_1=1$
Сумма корней: $x_1+x_2=1999$.
Подставляем: $1+x_2=1999\Rightarrow x_2=1998$.

Ответ: $x=1;x=1998$

б) $x^2+2000x-2001=0$.

$a+b+c=1+2000-2001=0$, значит, $x_1=1$.
Сумма корней: $x_1+x_2=-2000$.
Подставляем: $1+x_2=-2000\Rightarrow x_2=-2001$.

Ответ: $x=-2001;x=1$.

в) $8x^2-5x-3=0$.

Так как $a+b+c=8-5-3=0$, одним из корней является $x_1=1$.

Получим выражение:

Сумма корней равна $x_1+x_2=\frac{5}{8}$.
Подставим $x_1=1$: $1+x_2=\frac{5}{8}$.

Ответ: $x=1;x=-\frac{3}{8}$.

г) $100x^2-150x+50=0$.

Так как $a+b+c=100-150+50=0$, одним из корней является $x_1=1$.

Получим выражение:

Сумма корней равна $x_1+x_2=\frac{150}{100}=1,5$.
Подставим $x_1=1$: $1+x_2=1,5$.

Ответ: $x=1;x=0,5$.