ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 529 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Нужно выразить через коэффициенты $p$ и $q$:
а) $x_1^2 + x_2^2$;
б) $x_1^3 + x_2^3$;
в) $x_1^4 + x_2^4$.

$x^2+px+q=0$
$x_1{x}_2=q,x_1+x_2=-p\mathrm{.}$

а) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(-p{)}^2-2q=p^2-2q\mathrm{.}$

б) $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=$

$$=-p\cdot (x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-3x_1{x}_2)=-p\cdot ((x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2)=$$

$$=-p\cdot ((-p{)}^2-3q)=-p\cdot (p^2-3q)=3pq-p^3\mathrm{.}$$

в) $x_1^4+x_2^4=x_1^4+2x_1^2{x}_2^2+x_2^4-2x_1^2{x}_2^2=(x_1^2+x_2^2{)}^2-2x_1^2{x}_2^2=$

$$=(p^2-2q{)}^2-2q^2=p^4-4p^{2}q+4q^2-2q^2=p^4-4p^{2}q+2q^2\mathrm{.}$$

Дано уравнение $x^2+px+q=0$. Его корни обозначим через $x_1$ и $x_2$. По формулам Виета выполняются равенства: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.

а) Нужно найти $x_1^2+x_2^2$. Сначала используем тождество $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$. Отсюда получаем, что $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$. Теперь подставляем значения: $x_1+x_2=-p$, тогда $(x_1+x_2)^2=(-p)^2=p^2$. Также $x_1x_2=q$. Следовательно, $x_1^2+x_2^2=p^2-2q$.

б) Нужно найти $x_1^3+x_2^3$. Используем разложение: $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$. Сначала вычисляем выражение $x_1^2+x_2^2$, оно уже найдено и равно $p^2-2q$. Тогда $x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2=(p^2-2q)-q=p^2-3q$. Подставляем это и сумму корней: $x_1+x_2=-p$. Получаем $x_1^3+x_2^3=(-p)(p^2-3q)$. Раскрываем скобки: $x_1^3+x_2^3=-p^3+3pq$.

в) Нужно найти $x_1^4+x_2^4$. Используем формулу: $x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2$. Мы уже знаем, что $x_1^2+x_2^2=p^2-2q$ и $x_1x_2=q$. Подставляем эти значения: $x_1^4+x_2^4=(p^2-2q)^2-2q^2$. Теперь раскрываем квадрат: $(p^2-2q)^2=p^4-4p^2q+4q^2$. Вычитаем $2q^2$: получаем $p^4-4p^2q+4q^2-2q^2=p^4-4p^2q+2q^2$.