ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 529 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дано:
Уравнение $x^2 + px + q = 0$, где корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям:

$$x_1 x_2 = q, \quad x_1 + x_2 = -p.$$

а) Требуется найти $x_1^2 + x_2^2$.

Используем формулу для разности квадратов:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2.$$

Подставим значения $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$ в эту формулу:

$$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q.$$

Ответ:

$$x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q.$$

б) Требуется найти $x_1^3 + x_2^3$.

Используем формулу для суммы кубов:

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2).$$

Разложим выражение внутри скобок:

$$x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) — x_1 x_2.$$

Подставим выражение для $x_1^2 + x_2^2$ из части а):

$$x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q,$$

и $x_1 x_2 = q$. Тогда:

$$x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2 = (p^2 — 2q) — q = p^2 — 3q.$$

Теперь подставим все это в формулу для $x_1^3 + x_2^3$:

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(p^2 — 3q).$$

Поскольку $x_1 + x_2 = -p$, то:

$$x_1^3 + x_2^3 = -p \cdot (p^2 — 3q).$$

Раскроем скобки:

$$x_1^3 + x_2^3 = -p(p^2 — 3q) = -p^3 + 3pq.$$

Ответ:

$$x_1^3 + x_2^3 = 3pq — p^3.$$

в) Требуется найти $x_1^4 + x_2^4$.

Используем формулу для суммы четвертых степеней:

$$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 — 2x_1^2 x_2^2.$$

Подставим значение для $x_1^2 + x_2^2$, которое мы нашли в части а):

$$x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q.$$

Тогда:

$$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (p^2 — 2q)^2.$$

Разворачиваем квадрат:

$$(p^2 — 2q)^2 = p^4 — 4p^2 q + 4q^2.$$

Теперь находим $x_1^2 x_2^2$. Используем $x_1 x_2 = q$, тогда:

$$x_1^2 x_2^2 = (x_1 x_2)^2 = q^2.$$

Подставим все это в формулу для $x_1^4 + x_2^4$:

$$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 — 2q)^2 — 2q^2 = p^4 — 4p^2 q + 4q^2 — 2q^2.$$

Упростим:

$$x_1^4 + x_2^4 = p^4 — 4p^2 q + 2q^2.$$

Ответ:

$$x_1^4 + x_2^4 = p^4 — 4p^2 q + 2q^2.$$