ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 527 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого:

а) на 2 меньше одного из корней уравнения $x^2 — 187x + 148 = 0$;
б) на 3 больше одного из корней уравнения $x^2 + 191x — 1250 = 0$.

а) $x^2-187x+148=0$
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить.

Тогда:
$y_1=x_1-2;y_2=x_2-2;$
$y_1+y_2=(x_1+x_2)-4$
$y_1\cdot y_2=(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4.$

Так как $x_1{x}_2=148$; $x_1+x_2=187$, то:
$y_1+y_2=(x_1+x_2)-4=187-4=183.$
$y_1\cdot y_2=(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4=$
$=148-2\cdot 187+4=148-374+4=-222.$

Будет уравнение:
$x^2-183x-222=0.$

б) $x^2+191x-1250=0$
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить.

Тогда:
$y_1=x_1+3;y_2=x_2+3;$
$y_1+y_2=(x_1+x_2)+6$
$y_1\cdot y_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9.$

Так как $x_1{x}_2=-1250$; $x_1+x_2=-191$, то:
$y_1+y_2=(x_1+x_2)+6=-191+6=-185.$
$y_1\cdot y_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9=$
$=-1250+3(-191)+9=-1250-573+9=-1814.$

Будет уравнение:
$x^2+185x-1814=0.$

а)$x^2-187x+148=0$:

Дано уравнение $x^2-187x+148=0$. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое нужно составить.

Изменим переменные, заменив $x_1$ и $x_2$ на $y_1$ и $y_2$ через сдвиг:

$$y_1=x_1-2,y_2=x_2-2.$$

Рассмотрим сумму корней $y_1+y_2$. Сумма корней $y_1$ и $y_2$ будет равна сумме корней $x_1$ и $x_2$ минус 4, так как каждый корень сдвигается на 2:

$$y_1+y_2=(x_1+x_2)-4.$$

Рассмотрим произведение корней $y_1\cdot y_2$. Используя формулу для произведения, получаем:

$$y_1\cdot y_2=(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4.$$

Это выражение позволит нам выразить $y_1\cdot y_2$ через известные значения $x_1{x}_2$ и $x_1+x_2$.

Подставим значения $x_1{x}_2=148$ и $x_1+x_2=187$ в полученные формулы для суммы и произведения корней $y_1$ и $y_2$:

Сумма корней:

$$y_1+y_2=(x_1+x_2)-4=187-4=183.$$

Произведение корней:

$$y_1\cdot y_2=(x_1-2)(x_2-2)=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4=$$

$$148-2\cdot 187+4=148-374+4=-222.$$

Таким образом, мы составили новое уравнение, корни которого равны $y_1$ и $y_2$:

$$x^2-183x-222=0.$$

Ответ: $x^2-183x-222=0.$

б) $x^2+191x-1250=0$:

Дано уравнение $x^2+191x-1250=0$. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое нужно составить.

Изменим переменные, заменив $x_1$ и $x_2$ на $y_1$ и $y_2$ через сдвиг:

$$y_1=x_1+3,y_2=x_2+3.$$

Рассмотрим сумму корней $y_1+y_2$. Сумма корней $y_1$ и $y_2$ будет равна сумме корней $x_1$ и $x_2$ плюс 6, так как каждый корень сдвигается на 3:

$$y_1+y_2=(x_1+x_2)+6.$$

Рассмотрим произведение корней $y_1\cdot y_2$. Используя формулу для произведения, получаем:

$$y_1\cdot y_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9.$$

Это выражение позволит нам выразить $y_1\cdot y_2$ через известные значения $x_1{x}_2$ и $x_1+x_2$.

Подставим значения $x_1{x}_2=-1250$ и $x_1+x_2=-191$ в полученные формулы для суммы и произведения корней $y_1$ и $y_2$:

Сумма корней:

$$y_1+y_2=(x_1+x_2)+6=-191+6=-185.$$

Произведение корней:

$$y_1\cdot y_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9=-1250+3(-191)+9=$$

$$-1250-573+9=-1814.$$

Таким образом, мы составили новое уравнение, корни которого равны $y_1$ и $y_2$:

$$x^2+185x-1814=0.$$

Ответ: $x^2+185x-1814=0.$