ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 526 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все целые положительные значения q, при которых данное уравнение имеет целые корни:

а) $x^2 + 5x + q = 0$;
б) $x^2 + 6x + q = 0$.

Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q

а) $x^2+5x+q=0$
Так как $q>0$, то корни должны иметь один и тот же знак.
Сумма корней равна $(-5)$, тогда оба корня отрицательные.
Все пары целых чисел, сумма которых равна $(-5)$:
$-5=(-4)+(-1)=(-2)+(-3)$.
Тогда значения $q$ равны: $4$ и $6$.

Если $q<0$, то корни должны иметь разные знаки.
Тогда пары целых чисел, сумма которых равна $(-5)$:
$-5=-6+1=-7+2=-8+3=\dots$
Значения $q$ равны: $-6$; $-14$; $-24\dots$ — все такие значения $q$ невозможно перечислить.

б) $x^2+6x+q=0$
Так как $q>0$, то корни должны иметь один и тот же знак.
Сумма корней равна $(-6)$, тогда оба корня отрицательные.
Все пары целых чисел, сумма которых равна $(-6)$:
$-6=(-5)+(-1)=(-4)+(-2)=(-3)+(-3)$.
Тогда значения $q$ равны: $5$; $8$; $9$.

Если $q<0$, то корни должны иметь разные знаки.
Тогда пары целых чисел, сумма которых равна $(-6)$:
$-6=-7+1=-8+2=-9+3=\dots$
Значения $q$ равны: $-7$; $-16$; $-27\dots$ — все такие значения $q$ невозможно перечислить.

а) Решение для уравнения $x^2+5x+q=0$:

Рассмотрим уравнение $x^2+5x+q=0$.

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения равна $-5$, поскольку она равна противоположному знаку коэффициента при $x$ в уравнении. Таким образом:

$$x_1+x_2=-5.$$

Если $q>0$, то корни уравнения должны быть одного и того же знака. Поскольку их сумма равна $-5$, оба корня должны быть отрицательными. Теперь найдем все пары целых чисел, сумма которых равна $-5$:

$$-5=(-4)+(-1)=(-2)+(-3)\mathrm{.}$$

Для каждой пары целых чисел $(a,b)$, таких что $a+b=-5$, значение $q$ вычисляется как произведение этих чисел $a\cdot b$, поскольку по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно $q$. Поэтому:

Для пары $(-4)$ и $(-1)$, значение $q$ равно:

$$q=(-4)\cdot (-1)=4.$$

Для пары $(-2)$ и $(-3)$, значение $q$ равно:

$$q=(-2)\cdot (-3)=6.$$

Таким образом, если $q>0$, то значения $q$ равны $4$ и $6$.

Теперь рассмотрим случай, когда $q<0$. В этом случае корни должны иметь разные знаки, то есть один из них положительный, а другой отрицательный. Для таких корней сумма остается $-5$, и рассмотрим все пары целых чисел, сумма которых равна $-5$:

$$-5=-6+1=-7+2=-8+3=\dots \mathrm{.}$$

Для каждой из этих пар значения $q$ можно вычислить как произведение чисел $a\cdot b$, где $a+b=-5$. Пара $(-6)$ и $1$ дает:

$$q=(-6)\cdot 1=-6.$$

Пара $(-7)$ и $2$ дает:

$$q=(-7)\cdot 2=-14.$$

Пара $(-8)$ и $3$ дает:

$$q=(-8)\cdot 3=-24.$$

И так далее.

Поскольку чисел, которые могут быть парами целых чисел с суммой $-5$, бесконечно много, то значений $q$ будет бесконечно много: $-6,-14,-24\dots$.

Ответ:
Если $q>0$, то $q$ принимает значения $4$ и $6$.
Если $q<0$, то $q$ принимает значения $-6,-14,-24\dots$.

б) Решение для уравнения $x^2+6x+q=0$:

Рассмотрим уравнение $x^2+6x+q=0$.

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения равна $-6$, поскольку она равна противоположному знаку коэффициента при $x$. Таким образом:

$$x_1+x_2=-6.$$

Если $q>0$, то корни уравнения должны быть одного и того же знака. Поскольку их сумма равна $-6$, оба корня должны быть отрицательными. Теперь найдем все пары целых чисел, сумма которых равна $-6$:

$$-6=(-5)+(-1)=(-4)+(-2)=(-3)+(-3)\mathrm{.}$$

Для каждой пары целых чисел $(a,b)$, таких что $a+b=-6$, значение $q$ вычисляется как произведение этих чисел $a\cdot b$, поскольку по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно $q$. Поэтому:

Для пары $(-5)$ и $(-1)$, значение $q$ равно:

$$q=(-5)\cdot (-1)=5.$$

Для пары $(-4)$ и $(-2)$, значение $q$ равно:

$$q=(-4)\cdot (-2)=8.$$

Для пары $(-3)$ и $(-3)$, значение $q$ равно:

$$q=(-3)\cdot (-3)=9.$$

Таким образом, если $q>0$, то значения $q$ равны $5$, $8$ и $9$.

Теперь рассмотрим случай, когда $q<0$. В этом случае корни должны иметь разные знаки, то есть один из них положительный, а другой отрицательный. Для таких корней сумма остается $-6$, и рассмотрим все пары целых чисел, сумма которых равна $-6$:

$$-6=-7+1=-8+2=-9+3=\dots \mathrm{.}$$

Для каждой из этих пар значения $q$ можно вычислить как произведение чисел $a\cdot b$, где $a+b=-6$. Пара $(-7)$ и $1$ дает:

$$q=(-7)\cdot 1=-7.$$

Пара $(-8)$ и $2$ дает:

$$q=(-8)\cdot 2=-16.$$

Пара $(-9)$ и $3$ дает:

$$q=(-9)\cdot 3=-27.$$

И так далее.

Поскольку чисел, которые могут быть парами целых чисел с суммой $-6$, бесконечно много, то значений $q$ будет бесконечно много: $-7,-16,-27\dots$.

Ответ:
Если $q>0$, то $q$ принимает значения $5$, $8$ и $9$.
Если $q<0$, то $q$ принимает значения $-7,-16,-27\dots$.