ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 523 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Один из корней уравнения $x^2 + px — 20 = 0$ равен $-5$. Нужно найти второй корень и значение коэффициента $p$.

б) Один из корней уравнения $3x^2 + px + 4 = 0$ равен $-2$. Нужно определить второй корень и коэффициент $p$.

а) $x^2+px-20=0$,
$x_1=-5$;

$x_1{x}_2=-20$
$-5x_2=-20$
$x_2=4.$

$x_1+x_2=-p$
$-5+4=-p$
$-p=-1$
$p=1.$

Ответ: $x_2=4;p=1.$

б) $3x^2+px+4=0$,
$x_1=-2$;

$x^2+\frac{p}{3}x+\frac{4}{3}=0$
$x_1{x}_2=\frac{4}{3}$
$-2x_2=\frac{4}{3}$
$x_2=\frac{4}{3}:(-2)$
$x_2=-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}$
$x_2=-\frac{2}{3}\mathrm{.}$

$x_1+x_2=-\frac{p}{3}$
$-2-\frac{2}{3}=-\frac{p}{3}$
$-\frac{6}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{p}{3}$
$-\frac{8}{3}=-\frac{p}{3}$
$-p=-8$
$p=8.$

Ответ: $x_2=-\frac{2}{3};p=8.$

а) Решение уравнения $x^2+px-20=0$, при условии, что $x_1=-5$:

Дано квадратное уравнение $x^2+px-20=0$, где $x_1=-5$.

Согласно свойствам корней квадратного уравнения, произведение корней $x_1{x}_2=-20$.

Подставляем значение $x_1=-5$ в уравнение:

$$(-5)\cdot x_2=-20$$

Решаем для $x_2$:

$$-5x_2=-20$$

Разделим обе части на $-5$:

$$x_2=\frac{-20}{-5}=4.$$

Теперь используем второе свойство корней квадратного уравнения, которое гласит, что сумма корней равна $-p$:

$$x_1+x_2=-p$$

Подставляем найденные значения $x_1=-5$ и $x_2=4$ в это уравнение:

$$-5+4=-p$$

Получаем:

$$-1=-p$$

Из этого следует:

$$p=1.$$

Ответ: $x_2=4;p=1.$

б) Решение уравнения $3x^2+px+4=0$, при условии, что $x_1=-2$:

Дано квадратное уравнение $3x^2+px+4=0$, где $x_1=-2$.

Применяем известные свойства корней квадратного уравнения для произведения корней. Произведение корней равно $\frac{4}{3}$:

$$x_1\cdot x_2=\frac{4}{3}$$

Подставляем $x_1=-2$ в это выражение:

$$(-2)\cdot x_2=\frac{4}{3}$$

Решаем для $x_2$:

$$-2x_2=\frac{4}{3}$$

Разделим обе части на $-2$:

$$x_2=\frac{4}{3}÷(-2)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Теперь используем свойство суммы корней:

$$x_1+x_2=-\frac{p}{3}$$

Подставляем $x_1=-2$ и $x_2=-\frac{2}{3}$ в это уравнение:

$$-2-\frac{2}{3}=-\frac{p}{3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-\frac{6}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{p}{3}$$$$-\frac{8}{3}=-\frac{p}{3}$$

Умножаем обе части на $-3$:

$$8=p\mathrm{.}$$

Ответ: $x_2=-\frac{2}{3};p=8.$