ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 521 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько корней имеет уравнение? 2) Рациональными или иррациональными явялются его корни? 3) Каковы знаки корней? 4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;
б) $3y^2 — 8y + 2 = 0$;
в) $4x^2 — 11x — 3 = 0$;
г) $-8z^2 — 2z + 3 = 0$;
д) $5x^2 — 3x + 1 = 0$;
е) $-6z^2 + 11z — 3 = 0$;
ж) $-2y^2 + 4y — 3 = 0$;
з) $2x^2 — 10x — 5 = 0$.

а) $3x^2+7x+2=0$
$D=49-4\cdot 3\cdot 2=25>0.$
$x_1{x}_2=\frac{2}{3};x_1+x_2=-\frac{7}{3}\mathrm{.}$
$x_1<0,x_2<0.$

два корня;

рациональные;

корни отрицательные.

б) $3y^2-8y+2=0$
$D=64-4\cdot 3\cdot 2=40>0.$
$y_1{y}_2=\frac{2}{3};y_1+y_2=\frac{8}{3}\mathrm{.}$
$y_1>0,y_2>0.$

два корня;

иррациональные;

корни положительные.

в) $4x^2-11x-3=0$
$D=121+4\cdot 4\cdot 3=169>0.$
$x_1{x}_2=-\frac{3}{4};x_1+x_2=\frac{11}{4}\mathrm{.}$
$x_1<0,x_2>0.$

два корня;

рациональные;

корни разных знаков;

$\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$

г) $-8z^2-2z+3=0$
$D=4+4\cdot 8\cdot 3=100>0.$
$z_1{z}_2=-\frac{3}{8};z_1+z_2=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\mathrm{.}$
$z_1<0,z_2>0.$

два корня;

рациональные;

корни разных знаков;

$\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$

д) $5x^2-3x+1=0$
$D=9-4\cdot 5\cdot 1=-11<0.$

корней нет.

е) $-6z^2+11z-3=0$
$D=121-4\cdot 6\cdot 3=49>0.$
$z_1{z}_2=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};z_1+z_2=\frac{11}{6}\mathrm{.}$
$z_1>0,z_2>0.$

два корня;

рациональные;

корни положительные.

ж) $-2y^2+4y-3=0$
$D=16-4\cdot 2\cdot 3=-8<0.$

корней нет.

з) $2x^2-10x-5=0$
$D=25+2\cdot 5=35>0.$
$x_1{x}_2=-\frac{5}{2};x_1+x_2=\frac{10}{2}=5.$
$x_1>0,x_2<0.$

два корня;

иррациональные;

корни разных знаков;

$\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$

а) $3x^2+7x+2=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{25}}{6}=\frac{-7+5}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3},x_2=\frac{-7-\sqrt{25}}{6}=\frac{-7-5}{6}=\frac{-12}{6}=-2$$

Теперь определим, какие корни положительные, а какие отрицательные:

$x_1=-\frac{1}{3}$ (отрицательное число)

$x_2=-2$ (отрицательное число)

Ответ:

два корня: $x_1=-\frac{1}{3},x_2=-2$

рациональные корни

оба корня отрицательные

б) $3y^2-8y+2=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=64-24=40>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$y_1=\frac{8+\sqrt{40}}{6},y_2=\frac{8-\sqrt{40}}{6}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{40}\approx 6.32$$

Подставим:

$$y_1=\frac{8+6.32}{6}=\frac{14.32}{6}\approx 2.39,y_2=\frac{8-6.32}{6}=\frac{1.68}{6}\approx 0.28$$

Определим знак корней:

$y_1\approx 2.39$ (положительное число)

$y_2\approx 0.28$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $y_1\approx 2.39,y_2\approx 0.28$

иррациональные корни

оба корня положительные

в) $4x^2-11x-3=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-11{)}^2-4\cdot 4\cdot (-3)=121+48=169>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1=\frac{11+\sqrt{169}}{8},x_2=\frac{11-\sqrt{169}}{8}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{169}=13$$

Подставим:

$$x_1=\frac{11+13}{8}=\frac{24}{8}=3,x_2=\frac{11-13}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$$

Определим знак корней:

$x_1=3$ (положительное число)

$x_2=-\frac{1}{4}$ (отрицательное число)

Ответ:

два корня: $x_1=3,x_2=-\frac{1}{4}$

рациональные корни

корни разных знаков

$\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$

г) $-8z^2-2z+3=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot (-8)\cdot 3=4+96=100>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$z_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},z_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$z_1=\frac{2+\sqrt{100}}{-16},z_2=\frac{2-\sqrt{100}}{-16}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{100}=10$$

Подставим:

$$z_1=\frac{2+10}{-16}=\frac{12}{-16}=-\frac{3}{4},z_2=\frac{2-10}{-16}=\frac{-8}{-16}=\frac{1}{2}$$

Определим знак корней:

$z_1=-\frac{3}{4}$ (отрицательное число)

$z_2=\frac{1}{2}$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $z_1=-\frac{3}{4},z_2=\frac{1}{2}$

рациональные корни

корни разных знаков

$\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }$

д) $5x^2-3x+1=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0$$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е) $-6z^2+11z-3=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac={11}^2-4\cdot (-6)\cdot (-3)=121-72=49>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$z_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},z_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$z_1=\frac{-11+\sqrt{49}}{-12},z_2=\frac{-11-\sqrt{49}}{-12}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{49}=7$$

Подставим:

$$z_1=\frac{-11+7}{-12}=\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3},z_2=\frac{-11-7}{-12}=\frac{-18}{-12}=\frac{3}{2}$$

Определим знак корней:

$z_1=\frac{1}{3}$ (положительное число)

$z_2=\frac{3}{2}$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $z_1=\frac{1}{3},z_2=\frac{3}{2}$

рациональные корни

оба корня положительные

ж) $-2y^2+4y-3=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-2)\cdot (-3)=16-24=-8<0$$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

з) $2x^2-10x-5=0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-10{)}^2-4\cdot 2\cdot (-5)=100+40=140>0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1=\frac{10+\sqrt{140}}{4},x_2=\frac{10-\sqrt{140}}{4}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{140}\approx 11.83$$

Подставим:

$$x_1=\frac{10+11.83}{4}=\frac{21.83}{4}\approx 5.46,x_2=\frac{10-11.83}{4}=\frac{-1.83}{4}\approx -0.46$$

Определим знак корней:

• $x_1\approx 5.46$ (положительное число)
• $x_2\approx -0.46$ (отрицательное число)

Ответ:

• два корня: $x_1\approx 5.46,x_2\approx -0.46$
• иррациональные корни
• корни разных знаков
• $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$