ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 514 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни одинаковых знаков, и определите знаки корней:
а) $x^2 + 3x + 2 = 0$;
б) $x^2 — 3x + 2 = 0$;
в) $x^2 — 5x + 4 = 0$;
г) $x^2 + 5x + 4 = 0$;
д) $x^2 — 6x + 8 = 0$;
е) $x^2 + 8x + 7 = 0$.

a) $x^2+3x+2=0$
$x_1{x}_2=2;x_1+x_2=-3\Rightarrow x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.

б) $x^2-3x+2=0$
$x_1{x}_2=2;x_1+x_2=3\Rightarrow x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

в) $x^2-5x+4=0$
$x_1{x}_2=4;x_1+x_2=5\Rightarrow x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

г) $x^2+5x+4=0$
$x_1{x}_2=4;x_1+x_2=-5\Rightarrow x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.

д) $x^2-6x+8=0$
$x_1{x}_2=8;x_1+x_2=6\Rightarrow x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

e) $x^2+8x+7=0$
$x_1{x}_2=7;x_1+x_2=-8\Rightarrow x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.

a) Уравнение:

$$x^2+3x+2=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=2$

Сумма корней: $x_1+x_2=-3$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение также будет положительным, но сумма будет больше нуля.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным (так как произведение двух отрицательных чисел положительно), а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-3$ — это отрицательное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть отрицательными.

Ответ: $x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.

б) Уравнение:

$$x^2-3x+2=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=2$

Сумма корней: $x_1+x_2=3$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма тоже будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=3$ — это положительное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть положительными.

Ответ: $x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

в) Уравнение:

$$x^2-5x+4=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=4$

Сумма корней: $x_1+x_2=5$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма также будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=5$ — это положительное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть положительными.

Ответ: $x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

г) Уравнение:

$$x^2+5x+4=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=4$

Сумма корней: $x_1+x_2=-5$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, но сумма будет больше нуля.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным (так как произведение двух отрицательных чисел положительное), а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-5$ — это отрицательное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть отрицательными.

Ответ: $x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.

д) Уравнение:

$$x^2-6x+8=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=8$

Сумма корней: $x_1+x_2=6$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=6$ — это положительное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть положительными.

Ответ: $x_1>0$ и $x_2>0$, так как при умножении и сложении двух положительных чисел будут положительные числа.

e) Уравнение:

$$x^2+8x+7=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=7$

Сумма корней: $x_1+x_2=-8$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, но сумма будет больше нуля.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным (так как произведение двух отрицательных чисел положительное), а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-8$ — это отрицательное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть отрицательными.

Ответ: $x_1<0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух отрицательных чисел будет положительное число, а при сложении двух отрицательных чисел будет отрицательное число.