ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 510 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя замену, приводящую к неполному квадратному уравнению:
а) (9-3x)(46-3x)=120;
б) (5x-63)(5x-18)=550.

a) $(9-3x)(46-3x)=120$

Замена: $6-3x=y$;
$(3+(6-3x))(40+(6-3x))=120$
$(3+y)(40+y)=120$
$12+3y+40y+y^2-120=0$
$y^2+43y-120=0$
$y(y+43)=0$
$y=0,y+43=0$
$y=-43.$

Тогда:
$6-3x=0,6-3x=-43$
$3x=63x=6+43$
$x=23x=49$
$x=\frac{49}{3}=16\frac{1}{3}\mathrm{.}$

Ответ: $x=2;x=16\frac{1}{3}$.

б) $(5x-63)(5x-18)=550$

Замена: $5x-8=y$;
$((5x-8)-55)((5x-8)-10)=550$
$(y-55)(y-10)=550$
$y^2-10y-55y+550-550=0$
$y^2-65y=0$
$y(y-65)=0$
$y=0,y-65=0$
$y=65.$

Тогда:
$5x-8=0,5x-8=65$
$5x=85x=65+8$
$x=1.65x=73$
$x=\mathrm{14.6.}$

Ответ: $x=1.6;x=14.6$.

a) $(9-3x)(46-3x)=120$

Исходное уравнение:

$$(9-3x)(46-3x)=120$$

Для упрощения сделаем замену переменной. Пусть:

$$6-3x=y$$

Тогда уравнение становится:

$$(3+(6-3x))(40+(6-3x))=120$$

Подставляем замену $y=6-3x$:

$$(3+y)(40+y)=120$$

Раскроем скобки:

$$(3+y)(40+y)=3\cdot 40+3\cdot y+y\cdot 40+y^2$$$$=120+3y+40y+y^2$$

Уравнение принимает вид:

$$120+43y+y^2=120$$

Упростим уравнение:

$$120+43y+y^2-120=0$$$$y^2+43y=0$$

Разложим это выражение на множители:

$$y(y+43)=0$$

Получаем два возможных значения для $y$:

$$y=0\text{или}y+43=0$$$$y=0\text{или}y=-43$$

Теперь вернемся к переменной $x$. Из замены $6-3x=y$, получаем два уравнения:

$$6-3x=0\text{или}6-3x=-43$$

Решим каждое из уравнений:

Для $6-3x=0$:

$$3x=6\Rightarrow x=2$$

Для $6-3x=-43$:

$$3x=6+43=49\Rightarrow x=\frac{49}{3}=16\frac{1}{3}$$

Ответ: $x=2;x=16\frac{1}{3}$.

б) $(5x-63)(5x-18)=550$

Исходное уравнение:

$$(5x-63)(5x-18)=550$$

Для упрощения сделаем замену переменной. Пусть:

$$5x-8=y$$

Подставим эту замену в уравнение:

$$((5x-8)-55)((5x-8)-10)=550$$$$(y-55)(y-10)=550$$

Раскроем скобки:

$$(y-55)(y-10)=y^2-10y-55y+550$$

Упростим:

$$y^2-65y+550-550=0$$$$y^2-65y=0$$

Разложим на множители:

$$y(y-65)=0$$

Получаем два возможных значения для $y$:

$$y=0\text{или}y-65=0$$$$y=0\text{или}y=65$$

Теперь вернемся к переменной $x$. Из замены $5x-8=y$, получаем два уравнения:

$$5x-8=0\text{или}5x-8=65$$

Решим каждое из уравнений:

• Для $5x-8=0$:

$$5x=8\Rightarrow x=\frac{8}{5}=1.6$$

• Для $5x-8=65$:

$$5x=65+8=73\Rightarrow x=\frac{73}{5}=14.6$$

Ответ: $x=1.6;x=14.6$.