ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 51 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Найдите сумму и разность дробей.

а) $\frac{1}{a - b}$ и $\frac{1}{a + b}$ ;

б) $\frac{a + 1}{a - 1}$ и $\frac{a - 1}{a + 1}$ ;

в) $\frac{p - q}{p + q}$ и $\frac{p + q}{p - q}$ ;

г) $\frac{m}{m + 4}$ и $\frac{m}{m - 4}$ .

Краткий ответ:

а) $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = \frac{a + b}{(a - b) (a + b)} + \frac{a - b}{(a - b) (a + b)} = \frac{a + b + a - b}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}}$

$\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} = \frac{a + b}{(a - b) (a + b)} - \frac{a - b}{(a - b) (a + b)} = \frac{a + b - a + b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}$

б) $\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a + 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} + \frac{(a - 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} = \frac{(a + 1)^{2} + (a - 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} = \frac{a^{2} + 2 a + 1 + a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} =$

$\frac{2 a^{2} + 2}{a^{2} - 1}$

$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a + 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} - \frac{(a - 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} = \frac{(a + 1)^{2} - (a - 1)^{2}}{(a - 1) (a + 1)} = \frac{a^{2} + 2 a + 1 - a^{2} + 2 a - 1}{a^{2} - 1} =$

$\frac{4 a}{a^{2} - 1}$

в) $\frac{p - q}{p + q} + \frac{p + q}{p - q} = \frac{(p - q)^{2}}{(p + q) (p - q)} + \frac{(p + q)^{2}}{(p + q) (p - q)} = \frac{(p - q)^{2} + (p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} = \frac{p^{2} - 2 p q + q^{2} + p^{2} + 2 p q + q^{2}}{p^{2} - q^{2}} =$

$\frac{2 p^{2} + 2 q^{2}}{p^{2} - q^{2}}$

$\frac{p - q}{p + q} - \frac{p + q}{p - q} = \frac{(p - q)^{2}}{(p + q) (p - q)} - \frac{(p + q)^{2}}{(p + q) (p - q)} = \frac{(p - q)^{2} - (p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} = \frac{p^{2} - 2 p q + q^{2} - p^{2} - 2 p q - q^{2}}{p^{2} - q^{2}} =$

$\frac{- 4 p q}{p^{2} - q^{2}}$

г) $\frac{m}{m + 4} + \frac{m}{m - 4} = \frac{m (m - 4)}{(m + 4) (m - 4)} + \frac{m (m + 4)}{(m + 4) (m - 4)} = \frac{m (m - 4) + m (m + 4)}{(m + 4) (m - 4)} = \frac{m^{2} - 4 m + m^{2} + 4 m}{m^{2} - 16} =$

$\frac{2 m^{2}}{m^{2} - 16}$

$\frac{m}{m + 4} - \frac{m}{m - 4} = \frac{m (m - 4)}{(m + 4) (m - 4)} - \frac{m (m + 4)}{(m + 4) (m - 4)} = \frac{m (m - 4) - m (m + 4)}{(m + 4) (m - 4)} = \frac{m^{2} - 4 m - m^{2} - 4 m}{m^{2} - 16} =$

$\frac{- 8 m}{m^{2} - 16}$

Подробный ответ:

а)

$\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b}$

Шаг 1. Найдём общий знаменатель:

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{(a - b) (a + b)}$

$\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{(a - b) (a + b)}$

Шаг 3. Сложим дроби:

$\frac{a + b}{(a - b) (a + b)} + \frac{a - b}{(a - b) (a + b)} = \frac{a + b + a - b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 a}{a^{2} - b^{2}}$

$\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}$

Шаг 1. Общий знаменатель тот же:

$a^{2} - b^{2}$

Шаг 2. Приведём дроби:

$\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}$

$\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a^{2} - b^{2}}$

Шаг 3. Вычтем дроби:

$\frac{a + b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a - b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a + b - (a - b)}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a + b - a + b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}$

б)

$\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$(a - 1) (a + 1) = a^{2} - 1$

Шаг 2. Приведём дроби:

$\frac{a + 1}{a - 1} = \frac{(a + 1)^{2}}{a^{2} - 1}$

$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)^{2}}{a^{2} - 1}$

Шаг 3. Сложим дроби:

$\frac{(a + 1)^{2} + (a - 1)^{2}}{a^{2} - 1}$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$(a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1$

$(a - 1)^{2} = a^{2} - 2 a + 1$

Шаг 5. Сложим числители:

$a^{2} + 2 a + 1 + a^{2} - 2 a + 1 = 2 a^{2} + 2$

Шаг 6. Получаем итог:

$\frac{2 a^{2} + 2}{a^{2} - 1}$

$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a + 1}$

Шаг 1. Приведём дроби как выше.

Шаг 2. Вычтем дроби:

$\frac{(a + 1)^{2} - (a - 1)^{2}}{a^{2} - 1}$

Шаг 3. Используем формулу разности квадратов:

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Здесь

$A = a + 1, B = a - 1$

Шаг 4. Вычислим:

$(a + 1) - (a - 1) = 2$

$(a + 1) + (a - 1) = 2 a$

Шаг 5. Произведение:

$2 \times 2 a = 4 a$

Шаг 6. Получаем итог:

$\frac{4 a}{a^{2} - 1}$

в)

$\frac{p - q}{p + q} + \frac{p + q}{p - q}$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$(p + q) (p - q) = p^{2} - q^{2}$

Шаг 2. Приведём дроби:

$\frac{(p - q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} + \frac{(p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} = \frac{(p - q)^{2} + (p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}}$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$(p - q)^{2} = p^{2} - 2 p q + q^{2}$

$(p + q)^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2}$

Шаг 4. Сложим:

$p^{2} - 2 p q + q^{2} + p^{2} + 2 p q + q^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Шаг 5. Итог:

$\frac{2 p^{2} + 2 q^{2}}{p^{2} - q^{2}}$

$\frac{p - q}{p + q} - \frac{p + q}{p - q}$

Шаг 1. Приведём дроби:

$\frac{(p - q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} - \frac{(p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}} = \frac{(p - q)^{2} - (p + q)^{2}}{p^{2} - q^{2}}$

Шаг 2. Раскроем скобки (как выше).

Шаг 3. Вычтем:

$(p^{2} - 2 p q + q^{2}) - (p^{2} + 2 p q + q^{2}) = - 4 p q$

Шаг 4. Итог:

$\frac{- 4 p q}{p^{2} - q^{2}}$

г)

$\frac{m}{m + 4} + \frac{m}{m - 4}$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$(m + 4) (m - 4) = m^{2} - 16$

Шаг 2. Приведём дроби:

$\frac{m (m - 4)}{m^{2} - 16} + \frac{m (m + 4)}{m^{2} - 16} = \frac{m (m - 4) + m (m + 4)}{m^{2} - 16}$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$m^{2} - 4 m + m^{2} + 4 m = 2 m^{2}$

Шаг 4. Итог:

$\frac{2 m^{2}}{m^{2} - 16}$

$\frac{m}{m + 4} - \frac{m}{m - 4}$

Шаг 1. Аналогично приведём дроби и выполним вычитание:

$\frac{m (m - 4) - m (m + 4)}{m^{2} - 16}$

Шаг 2. Раскроем скобки числителя:

$m^{2} - 4 m - m^{2} - 4 m = - 8 m$

Шаг 3. Итог:

$\frac{- 8 m}{m^{2} - 16}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1