ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 489 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Найдите число, выражающее золотое сечение. Для этого примите длину меньшей части b за 1 и, подставив b=1 в пропорцию, найдите из этой пропорции a. Положительное значение a и будет равно золотому сечению.
2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению.

$\mathrm{1)\; b}=1$;

$$\frac{a}{1}=\frac{a+1}{a}$$

$$a^2=a+1$$

$$$$$$a^2-a-1=0$$

$$D=1+4=5=\sqrt{5}$$

$$$$$$a_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\text{— не подходит};$$

$$$$$$a_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{1+2,236}{2}=\frac{3,236}{2}=1,618$$

Ответ: $a=1,618$.

2) Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $35$ мм, тогда длина большей стороны равна $35\cdot 1,618=56,63$ мм.

Получился прямоугольник со сторонами $35$ мм и $56,6-35=21,6$ мм.

Отношение длин примерно равно:

$$\frac{35}{21,6}=\frac{350}{216}\approx 1,6$$

Следовательно, получившийся прямоугольник также является «золотым».

Пусть $b=1$. Мы начинаем с уравнения:

$$\frac{a}{1}=\frac{a+1}{a}$$

Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от дроби:

$$a=a+1$$

Переносим $a$ на одну сторону уравнения:

$$a-a=1$$

Видим, что левая часть уравнения $a-a=0$, и уравнение сводится к:

$$0=1$$

Таким образом, уравнение не имеет смысла, и видимо, нужно использовать другое преобразование. Смотрим исходную формулу, мы можем переписать её как:

$$a^2=a+1$$

2. Решение уравнения $a^2=a+1$:

Переносим все элементы на одну сторону:

$$a^2-a-1=0$$

Теперь решаем квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта $D$:

$$D=b^2-4ac$$

Здесь $a=1$, $b=-1$, и $c=-1$. Подставляем эти значения:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=1+4=5$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$a=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=-1$, $D=5$, и $a=1$:

$$a_1=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

$$a_2=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Рассмотрим $a_1$:

$$a_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx \frac{1-2,236}{2}=\frac{-1,236}{2}\approx -0,618$$

Это отрицательное значение, а поскольку оно не подходит для данного контекста (здесь, вероятно, подразумевается положительное значение), мы отбрасываем этот корень.

Рассмотрим $a_2$:

$$a_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{1+2,236}{2}=\frac{3,236}{2}=1,618$$

Таким образом, правильный корень уравнения:

$$a=1,618$$

Ответ: $a=1,618$.

3. Применение полученного значения в задаче с прямоугольником:

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $35$ мм. Тогда длина большей стороны будет:

$$35\cdot 1,618=56,63\text{ мм}$$

Таким образом, получился прямоугольник с меньшей стороной $35$ мм и большей стороной $56,63$ мм. Теперь вычислим разницу между большей и меньшей стороной:

$$56,63-35=21,63\text{ мм}$$

Теперь найдем отношение длин сторон:

$$\frac{35}{21,6}=\frac{350}{216}\approx 1,6$$

Это отношение примерно равно $1,6$, что подтверждает, что прямоугольник является «золотым».

Ответ: получившийся прямоугольник является «золотым».