ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 478 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На участке прямоугольной формы со сторонами $7\text{м }$и $6\text{м }$хотят разместить прямоугольную клумбу площадью $12{\text{м}}^{\mathrm{2 }}$так, чтобы ширина образовавшейся вокруг клумбы дорожки была везде одинаковой. Какую ширину должна иметь дорожка?

Пусть ширина дорожки равна $\mathrm{x }$м, тогда размеры клумбы равны

$7-2\mathrm{x }$м и $6-2\mathrm{x }$м.

Составим уравнение:

$$(7-2x)(6-2x)=12$$

$$42-14x-12x+4x^2-12=0$$

$$4x^2-26x+30=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2-13x+15=0$$

$$D=169-4\cdot 2\cdot 15=169-120=49=\sqrt{49}=7.$$

$$x_1=\frac{13-7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5(\text{м})\text{— ширина дорожки};$$

$$x_2=\frac{13+7}{4}=\frac{20}{4}=5\text{— не подходит}\mathrm{.}$$

Ответ: $1,\mathrm{5 }$м.

1. Дано:

Пусть ширина дорожки равна $\mathrm{x }$м, тогда размеры клумбы составляют

$7-2\mathrm{x }$м и $6-2\mathrm{x }$м.

Задача заключается в том, чтобы найти ширину дорожки, при этом площадь клумбы должна быть равна 12 м².

2. Составляем уравнение:

Площадь клумбы можно найти по формуле для площади прямоугольника:

$$\text{Площадь клумбы}=\text{длина}\times \text{ширина}$$

Таким образом, площадь клумбы:

$$(7-2x)(6-2x)=12$$

3. Раскрываем скобки:

Для упрощения уравнения раскроем скобки:

$$(7-2x)(6-2x)=7(6-2x)-2x(6-2x)$$ $$=42-14x-12x+4x^2$$

Таким образом, получаем:

$$42-14x-12x+4x^2=12$$

4. Упрощаем уравнение:

Теперь соберем все слагаемые на одной стороне и упростим:

$$42-26x+4x^2=12$$

Переносим 12 на левую сторону:

$$42-26x+4x^2-12=0$$

Упрощаем:

$$4x^2-26x+30=0$$

5. Делим на 2:

Чтобы упростить коэффициенты, разделим все уравнение на 2:

$$\frac{4x^2}{2}-\frac{26x}{2}+\frac{30}{2}=0$$

Получаем:

$$2x^2-13x+15=0$$

6. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=2$, $b=-13$, $c=15$.

Подставляем значения:

$$D=(-13{)}^2-4\cdot 2\cdot 15=169-120=49$$

Таким образом, $D=49$, и $\sqrt{49}=7$.

7. Находим корни уравнения:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x=\frac{-(-13)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{13\pm 7}{4}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1=\frac{13-7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5(\text{м})\text{— ширина дорожки}$$

$$x_2=\frac{13+7}{4}=\frac{20}{4}=\mathrm{5 }$$

$$\text{<span style="font-family: Georgia, 'Times New Roman', 'Bitstream Charter', Times, serif;">— не подходит</span>}$$

8. Ответ:

Ширина дорожки составляет $1,\mathrm{5 }$м.

Ответ: $1,\mathrm{5 }$м.