ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 471 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрестка одновременно отъехали два велосипедиста, один в южном направлении, а другой в восточном. Скорость второго была на 4 км/ч больше скорости первого. Через час расстояние между ними оказалось равным 20 км. Определите скорость каждого велосипедиста.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость второго велосипедиста равна $x+4$ км/ч. За один час первый проедет $x$ км, а второй проедет $x+4$ км.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$x^2+(x+4{)}^2={20}^2$$

$$$$$$x^2+x^2+8x+16-400=0$$

$$$$$$2x^2+8x-384=0\mathrm{\mid }:2$$

$$$$$$x^2+4x-192=0$$

$$$$$$D=4^2+4\cdot 1\cdot 192=16+768=784=\sqrt{784}=28.$$

$$$$$$x_1=\frac{-4-28}{2}=\frac{-32}{2}=-16\text{(не подходит)};x_2=\frac{-4+28}{2}=\frac{24}{2}=12\text{(км/ч)}\text{—}$$

$$\text{ скорость первого велосипедиста}\mathrm{.}$$

Тогда скорость второго велосипедиста:

$$x+4=12+4=16\text{(км/ч)}\mathrm{.}$$

Ответ: $12\text{км/ч}$ и $16\text{км/ч}\mathrm{.}$

Дано:
Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость второго велосипедиста равна $x+4$ км/ч. За один час первый велосипедист проедет $x$ км, а второй — $x+4$ км. Необходимо найти скорости обоих велосипедистов, используя теорему Пифагора.

1. Составление уравнения:

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проезжает за 1 час $x$ км, а второй — $x+4$ км. Если представить эти расстояния как катеты прямоугольного треугольника, то гипотенуза будет равна расстоянию между ними через час, которое равно 20 км. Применяя теорему Пифагора, получаем:

$$x^2+(x+4{)}^2={20}^2$$

2. Раскрытие скобок:

Теперь раскроем скобки на левой стороне уравнения:

$$x^2+(x+4{)}^2={20}^2$$$$x^2+(x^2+8x+16)=400$$$$x^2+x^2+8x+16=400$$

3. Приведение подобных членов:

Собираем подобные члены:

$$2x^2+8x+16=400$$

Теперь переносим 400 на левую сторону:

$$2x^2+8x+16-400=0$$$$2x^2+8x-384=0$$

4. Упрощение уравнения:

Теперь упростим уравнение, разделив обе стороны на 2:

$$x^2+4x-192=0$$

5. Вычисление дискриминанта:

Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант $D$ по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В уравнении $x^2+4x-192=0$ коэффициенты $a=1$, $b=4$, $c=-192$. Подставляем их в формулу для дискриминанта:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-192)=16+768=784$$

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{784}=28$$

6. Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=4$, $D=784$, и $a=1$:

$$x_1=\frac{-4-28}{2}=\frac{-32}{2}=-16\text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)}$$$$x_2=\frac{-4+28}{2}=\frac{24}{2}=12$$

7. Нахождение скорости второго велосипедиста:

Теперь, когда мы знаем скорость первого велосипедиста $x=12$ км/ч, можем найти скорость второго велосипедиста. Он едет на 4 км/ч быстрее:

$$x+4=12+4=16\text{км/ч}$$

8. Ответ:

Скорость первого велосипедиста: $12\text{км/ч}$.
Скорость второго велосипедиста: $16\text{км/ч}$.

Ответ: $12\text{км/ч}$ и $16\text{км/ч}\mathrm{.}$