ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 466 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Сумма квадратов двух последовательных отрицательных целых чисел равна 85. Найдите эти числа.
б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных нечетных чисел равна 130. Найдите эти числа.
в) Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 41. Найдите эти числа.

а)

Пусть даны два последовательных отрицательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составим уравнение:

$$n^2+(n+1{)}^2=85$$

$$n^2 + (n + 1)^2 = 85$$ $$n^2+n^2+2n+1-85=0$$

$$n^2 + n^2 + 2n + 1 — 85 = 0$$ $$2n^2+2n-84=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2n^2 + 2n — 84 = 0 \quad | : 2$$ $$n^2+n-42=0$$

$$n^2 + n — 42 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 1\cdot 42=169=\sqrt{169}=13.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 = \sqrt{169} = 13.$$ $$n_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7; \quad n_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{(не подходит)}.$$

Тогда второе число равно:

$$n + 1 = -7 + 1 = -6.$$

Ответ: $-7$ и $-6$.

б)

Пусть даны два последовательных натуральных нечетных числа: $n$ и $n + 2$.

Составим уравнение:

$$n^2+(n+2{)}^2=130$$

$$n^2 + (n + 2)^2 = 130$$ $$n^2+n^2+4n+4-130=0$$

$$n^2 + n^2 + 4n + 4 — 130 = 0$$ $$2n^2+4n-126=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2n^2 + 4n — 126 = 0 \quad | : 2$$ $$n^2+2n-63=0$$

$$n^2 + 2n — 63 = 0$$ $$D=2^2+4\cdot 1\cdot 63=64=\sqrt{64}=8.$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 63 = 64 = \sqrt{64} = 8.$$ $$n_1 = \frac{-2 — 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \quad \text{(не подходит)}; \quad n_2 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Тогда второе число равно:

$$n + 2 = 7 + 2 = 9.$$

Ответ: $7$ и $9$.

в)

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составим уравнение:

$$n^2+(n+1{)}^2=41$$

$$n^2 + (n + 1)^2 = 41$$ $$n^2+n^2+2n+1-41=0$$

$$n^2 + n^2 + 2n + 1 — 41 = 0$$ $$2n^2+2n-40=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2n^2 + 2n — 40 = 0 \quad | : 2$$ $$n^2+n-20=0$$

$$n^2 + n — 20 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 1\cdot 20=81=\sqrt{81}=9.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 = \sqrt{81} = 9.$$ $$n_1 = \frac{-1 — 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5; \quad n_2 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Тогда второе число равно:

$$n + 1 = -5 + 1 = -4; \quad n + 1 = 4 + 1 = 5.$$

Ответ: $-5$ и $-4$; $4$ и $5$.

а)

Пусть даны два последовательных отрицательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составляем уравнение:

Нам нужно найти два последовательных числа, чьи квадраты в сумме дают 85:

$$n^2 + (n + 1)^2 = 85$$

Раскроем скобки и упростим:

$$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 85$$ $$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 85$$ $$2n^2 + 2n + 1 — 85 = 0$$ $$2n^2 + 2n — 84 = 0$$

Упрощаем уравнение:

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$$n^2 + n — 42 = 0$$

Вычисление дискриминанта:

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 1$, $c = -42$. Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{169} = 13$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем $b = 1$, $D = 169$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ $$n_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{(не подходит, так как \(n\) отрицательное)}$$

Второе число:

Так как первое число $n_1 = -7$, второе число будет:

$$n + 1 = -7 + 1 = -6$$

Ответ:

Ответ: $-7$ и $-6$.

б)

Пусть даны два последовательных натуральных нечетных числа: $n$ и $n + 2$.

Составляем уравнение:

Нам нужно найти два последовательных нечетных числа, чьи квадраты в сумме дают 130:

$$n^2 + (n + 2)^2 = 130$$

Раскроем скобки и упростим:

$$n^2 + (n^2 + 4n + 4) = 130$$ $$n^2 + n^2 + 4n + 4 = 130$$ $$2n^2 + 4n + 4 — 130 = 0$$ $$2n^2 + 4n — 126 = 0$$

Упрощаем уравнение:

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$$n^2 + 2n — 63 = 0$$

Вычисление дискриминанта:

Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 2$, $c = -63$. Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{256} = 16$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем $b = 2$, $D = 256$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-2 — 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \quad \text{(не подходит, так как \(n\) натуральное)}$$ $$n_2 = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

Второе число:

Так как первое число $n_2 = 7$, второе число будет:

$$n + 2 = 7 + 2 = 9$$

Ответ:

Ответ: $7$ и $9$.

в)

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составляем уравнение:

Нам нужно найти два последовательных числа, чьи квадраты в сумме дают 41:

$$n^2 + (n + 1)^2 = 41$$

Раскроем скобки и упростим:

$$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 41$$ $$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 41$$ $$2n^2 + 2n + 1 — 41 = 0$$ $$2n^2 + 2n — 40 = 0$$

Упрощаем уравнение:

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$$n^2 + n — 20 = 0$$

Вычисление дискриминанта:

Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 1$, $c = -20$. Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{81} = 9$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем $b = 1$, $D = 81$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-1 — 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$n_2 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Второе число:

Для $n_1 = -5$, второе число равно:

$$n + 1 = -5 + 1 = -4$$

Для $n_2 = 4$, второе число равно:

$$n + 1 = 4 + 1 = 5$$

Ответ:

Ответ: $-5$ и $-4$; $4$ и $5$.