ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 465 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.
б) Найдите два последовательных натуральных нечетных числа, произведение которых равно 323.

а)

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составим уравнение:

$$n(n+1)=210$$

$$n(n + 1) = 210$$ $$n^2+n-210=0$$

$$n^2 + n — 210 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 1\cdot 210=841=\sqrt{841}=29.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 210 = 841 = \sqrt{841} = 29.$$ $$n_1 = \frac{-1 — 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15; \quad n_2 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14.$$

Тогда второе число равно:

$$n + 1 = -15 + 1 = -14; \quad n + 1 = 14 + 1 = 15.$$

Ответ: $-15$ и $-14$; $14$ и $15$.

б)

Пусть даны два последовательных натуральных нечетных числа: $n$ и $n + 2$.

Составим уравнение:

$$n(n+2)=323$$

$$n(n + 2) = 323$$ $$n^2+2n-323=0$$

$$n^2 + 2n — 323 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 323 = 324 = \sqrt{324} = 18.$$ $$n_1 = \frac{-2 — 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \quad \text{(не натуральное, не подходит)}; \quad n_2 = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 17.$$

Тогда второе число равно:

$$n + 2 = 17 + 2 = 19.$$

Ответ: $17$ и $19$.

а)

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n + 1$.

Составляем уравнение:

У нас есть два последовательных числа, их произведение равно 210, то есть:

$$n(n + 1) = 210$$

Раскроем скобки:

$$n^2 + n = 210$$

Переносим 210 на левую сторону:

$$n^2 + n — 210 = 0$$

Это стандартное квадратное уравнение.

Вычисление дискриминанта:

Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $c = -210$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$$

Таким образом, дискриминант равен 841.

Корень из дискриминанта:

Корень из дискриминанта $D = 841$ вычисляется как:

$$\sqrt{841} = 29$$

Нахождение корней уравнения:

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 841$, и $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-1 — 29}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$$ $$n_2 = \frac{-1 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14$$

Нахождение второго числа:

Второе число для каждого случая равно $n + 1$.

Для $n_1 = -15$:

$$n + 1 = -15 + 1 = -14$$

Для $n_2 = 14$:

$$n + 1 = 14 + 1 = 15$$

Ответ:

Таким образом, два возможных решения:

$$n = -15 \quad \text{и} \quad n + 1 = -14$$

или

$$n = 14 \quad \text{и} \quad n + 1 = 15$$

Ответ: $-15$ и $-14$; $14$ и $15$.

б)

Пусть даны два последовательных натуральных нечетных числа: $n$ и $n + 2$.

Составляем уравнение:

У нас есть два последовательных нечетных числа, их произведение равно 323, то есть:

$$n(n + 2) = 323$$

Раскроем скобки:

$$n^2 + 2n = 323$$

Переносим 323 на левую сторону:

$$n^2 + 2n — 323 = 0$$

Это также квадратное уравнение.

Вычисление дискриминанта:

Для нахождения корней квадратного уравнения используем ту же формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, $c = -323$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-323) = 4 + 1292 = 1296$$

Таким образом, дискриминант равен 1296.

Корень из дискриминанта:

Корень из дискриминанта $D = 1296$ вычисляется как:

$$\sqrt{1296} = 36$$

Нахождение корней уравнения:

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 2$, $D = 1296$, и $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-2 — 36}{2 \cdot 1} = \frac{-38}{2} = -19 \quad \text{(не натуральное, не подходит)}$$ $$n_2 = \frac{-2 + 36}{2 \cdot 1} = \frac{34}{2} = 17$$

Нахождение второго числа:

Второе число для $n_2 = 17$ равно:

$$n + 2 = 17 + 2 = 19$$

Ответ:

Таким образом, решения:

$$n = 17 \quad \text{и} \quad n + 2 = 19$$

Ответ: $17$ и $19$.