ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 461 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:

а) $(x^2 — 2x + 1)^2 — 11(x^2 — 2x + 1) + 30 = 0$;

б) $(x^2 + 4x)^2 — 4(x^2 + 4x) — 5 = 0$.

а) $(x^2 — 2x + 1)^2 — 11(x^2 — 2x + 1) + 30 = 0$

Замена: $(x^2 — 2x + 1) = y$;

$y^2 — 11y + 30 = 0$

$D = 121 — 4 \cdot 30 = 1 = \sqrt{1} = 1$.

$y_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5; \quad y_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Тогда:

$x^2 — 2x + 1 = 5$

$x^2 — 2x — 4 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 5 = 5 = \sqrt{5}$.

$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

$x^2 — 2x + 1 = 6$

$x^2 — 2x — 5 = 0$

$D = 1 + 5 = 6 = \sqrt{6}$.

$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $x = 1 \pm \sqrt{5}; \, x = 1 \pm \sqrt{6}$.

б) $(x^2 + 4x)^2 — 4(x^2 + 4x) — 5 = 0$

Замена: $(x^2 + 4x) = y$;

$y^2 — 4y — 5 = 0$

$D = 4 + 5 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$y_1 = 2 — 3 = -1; \quad y_2 = 2 + 3 = 5$.

Тогда:

$x^2 + 4x = -1$

$x^2 + 4x + 1 = 0$

$D = 4 — 1 = 3 = \sqrt{3}$.

$x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x — 5 = 0$

$D = 4 + 5 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = -2 — 3 = -5; \quad x_2 = -2 + 3 = 1$.

Ответ: $x = -2 \pm \sqrt{3}; \, x = -5; \, x = 1$.

а)$$(x^2-2x+1{)}^2-11(x^2-2x+1)+30=0$$

Замена переменной:

Для удобства, сделаем замену $x^2-2x+1=y$. Получаем:

$$y^2-11y+30=0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Вычисление дискриминанта:

Для уравнения $y^2-11y+30=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot 30=121-120=1$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{1}=1$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-(-11)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{11-1}{2}=\frac{10}{2}=5$$

$$y_2=\frac{-(-11)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{11+1}{2}=\frac{12}{2}=6$$

Теперь у нас есть два корня для $y$: $y_1=5$ и $y_2=6$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Теперь нам нужно решить два уравнения, используя найденные значения $y$.

Первое уравнение:

Когда $y=5$, подставляем в исходное уравнение $x^2-2x+1=5$:

$$x^2-2x+1=5\Rightarrow x^2-2x-4=0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=4+16=20$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm 2\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}=1\pm \sqrt{5}$$

Таким образом, для первого случая $x=1\pm \sqrt{5}$.

Второе уравнение:

Когда $y=6$, подставляем в исходное уравнение $x^2-2x+1=6$:

$$x^2-2x+1=6\Rightarrow x^2-2x-5=0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=4+20=24$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm 2\sqrt{6}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2}=1\pm \sqrt{6}$$

Таким образом, для второго случая $x=1\pm \sqrt{6}$.

Ответ: $x=1\pm \sqrt{5};x=1\pm \sqrt{6}\mathrm{.}$

б)$$(x^2+4x{)}^2-4(x^2+4x)-5=0$$

Замена переменной:

Для удобства, сделаем замену $x^2+4x=y$. Получаем:

$$y^2-4y-5=0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Вычисление дискриминанта:

Для уравнения $y^2-4y-5=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D}=\sqrt{36}=6$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-(-4)-6}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$y_2=\frac{-(-4)+6}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Теперь у нас есть два корня для $y$: $y_1=-1$ и $y_2=5$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Теперь нам нужно решить два уравнения, используя найденные значения $y$.

Первое уравнение:

Когда $y=-1$, подставляем в исходное уравнение $x^2+4x=-1$:

$$x^2+4x=-1\Rightarrow x^2+4x+1=0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$$

Таким образом, для первого случая $x=-2\pm \sqrt{3}$.

Второе уравнение:

Когда $y=5$, подставляем в исходное уравнение $x^2+4x=5$:

$$x^2+4x=5\Rightarrow x^2+4x-5=0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D=4^2+4\cdot 1\cdot 5=16+20=36$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{36}=6$$

Найдем корни:

$$x_1=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5;x_2=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Таким образом, для второго случая $x=-5$ и $x=1$.

Ответ: $x=-2\pm \sqrt{3};x=-5;x=1.$