ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 460 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (введите подходящую замену):

а) $(x^2 — x — 1)^2 — 10(x^2 — x — 1) + 9 = 0$;

б) $(x^2 — 4x + 3)^2 + 6(x^2 — 4x + 6) — 34 = 0$.

а) $(x^2 — x — 1)^2 — 10(x^2 — x — 1) + 9 = 0$

Замена: $(x^2 — x — 1) = y$;

$y^2 — 10y + 9 = 0$

$D = 25 — 9 = 16 = \sqrt{16} = 4$.

$y_1 = 5 — 4 = 1; \quad y_2 = 5 + 4 = 9$.

Тогда:

$x^2 — x — 1 = 1$

$x^2 — x — 2 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 2 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1; \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

$x^2 — x — 1 = 9$

$x^2 — x — 10 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 10 = 41 = \sqrt{41}$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Ответ: $x = -1; \, x = 2; \, x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

б) $(x^2 — 4x + 3)^2 + 6(x^2 — 4x + 6) — 34 = 0$

Замена: $(x^2 — 4x + 3) = y$;

$y^2 + 6(y + 3) — 34 = 0$

$y^2 + 6y + 18 — 34 = 0$

$y^2 + 6y — 16 = 0$

$D = 9 + 16 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$y_1 = -3 — 5 = -8; \quad y_2 = -3 + 5 = 2$.

Тогда:

$x^2 — 4x + 3 = -8$

$x^2 — 4x + 11 = 0$

$D = 4 — 11 = -7 < 0$ — корней нет.

$x^2 — 4x + 3 = 2$

$x^2 — 4x + 1 = 0$

$D = 4 — 1 = 3 = \sqrt{3}$.

$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{3}$.

а)$$(x^2-x-1{)}^2-10(x^2-x-1)+9=0$$

Сделаем замену: $x^2-x-1=y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2-10y+9=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{64}=8$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1$$

$$y_2=\frac{10+8}{2}=\frac{18}{2}=9$$

Подставляем $y=x^2-x-1$:

Для $y_1=1$:

$$x^2-x-2=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2+4\cdot 1\cdot 2=1+8=9$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$x_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Для $y_2=9$:

$$x^2-x-10=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2+4\cdot 1\cdot 10=1+40=41$$

Находим корни:

$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}$$

Ответ: $x=-1;x=2;x=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}\mathrm{.}$

б)$$(x^2-4x+3{)}^2+6(x^2-4x+6)-34=0$$

Сделаем замену: $x^2-4x+3=y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2+6(y+3)-34=0$$

Раскрываем скобки:

$$y^2+6y+18-34=0$$

Приводим подобные:

$$y^2+6y-16=0$$

Находим дискриминант:

$$D=6^2+4\cdot 1\cdot 16=36+64=100$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{100}=10$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-6-10}{2}=\frac{-16}{2}=-8$$

$$y_2=\frac{-6+10}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Подставляем $y=x^2-4x+3$:

• Для $y_1=-8$:

$$x^2-4x+11=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 11=16-44=-28<0$$

Таким образом, решений нет.

• Для $y_2=2$:

$$x^2-4x+1=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

Находим корни:

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

Ответ: $x=2\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$