ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 459 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x + \sqrt{x} — 6 = 0$;

б) $x — \sqrt{x} + 3 = 0$;

в) $x — 4\sqrt{x} + 3 = 0$;

г) $x — 9\sqrt{x} + 20 = 0$.

а) $x + \sqrt{x} — 6 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$y^2 + y — 6 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 6 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3; \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Тогда:

1) $\sqrt{x} = -3 < 0$ — корней нет;

2) $\sqrt{x} = 2; \, x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

б) $x — \sqrt{x} + 3 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$y^2 — y + 3 = 0$

$D = 1 — 4 \cdot 3 = -11 < 0$ — корней нет.

Ответ: корней нет.

в) $x — 4\sqrt{x} + 3 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$y^2 — 4y + 3 = 0$

$D = 4 — 3 = 1 = \sqrt{1} = 1$.

$y_1 = 2 — 1 = 1; \quad y_2 = 2 + 1 = 3$.

Тогда:

1) $\sqrt{x} = 1; \, x = 1$;

2)$\sqrt{x} = 3; \, x = 9$.

Ответ: $x = 1; \, x = 9$.

г) $x — 9\sqrt{x} + 20 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$y^2 — 9y + 20 = 0$

$D = 81 — 4 \cdot 20 = 1 = \sqrt{1} = 1$.

$y_1 = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4; \quad y_2 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Тогда:

1) $\sqrt{x} = 4; \, x = 16$;

2) $\sqrt{x} = 5; \, x = 25$.

Ответ: $x = 16; \, x = 25$.

а)$$x+\sqrt{x}-6=0$$

Для упрощения уравнения сделаем замену: $\sqrt{x}=y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2+y-6=0$$

Теперь находим дискриминант:

$$D=1^2+4\cdot 1\cdot 6=1+24=25$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{25}=5$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$

$$y_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Подставляем $y=\sqrt{x}$:

$\sqrt{x}=-3<0$ — корней нет, так как $\sqrt{x}\ge 0$;

$\sqrt{x}=2$; $x=4$.

Ответ: $x=4.$

б)$$x-\sqrt{x}+3=0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x}=y$, и уравнение примет вид:

$$y^2-y+3=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=1-12=-11<0$$

Дискриминант отрицателен, следовательно, корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.

в)$$x-4\sqrt{x}+3=0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x}=y$, и уравнение примет вид:

$$y^2-4y+3=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4=\sqrt{4}=2$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$$

$$y_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Подставляем $y=\sqrt{x}$:

$\sqrt{x}=1$; $x=1$;

$\sqrt{x}=3$; $x=9$.

Ответ: $x=1;x=9.$

г)$$x-9\sqrt{x}+20=0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x}=y$, и уравнение примет вид:

$$y^2-9y+20=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1=\sqrt{1}=1$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4$$

$$y_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Подставляем $y=\sqrt{x}$:

$\sqrt{x}=4$; $x=16$;

$\sqrt{x}=5$; $x=25$.

Ответ: $x=16;x=25.$