ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 447 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 — 9x + 4) = 0$;

б) $(x^2 — 4x + 5)(2x^2 — 3x + 2) = 0$;

в) $(3x^2 — 5x + 2)(2x^2 + 3x — 1) = 0$;

г) $(36x^2 — 12x + 1)(5x^2 — 2x — 3) = 0$;

д) $(x^2 — 5x + 6)(x^2 — 2x — 3) = 0$.

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 — 9x + 4) = 0$

$4x^2 + x + 1 = 0 \quad \quad \quad \quad x^2 — 9x + 4 = 0$

$D = 1 — 4 \cdot 4 = -15 < 0 \quad \quad \quad D = 81 — 4 \cdot 4 = 65 > 0$

— корней нет.  — два корня.

Ответ: два корня.

б) $(x^2 — 4x + 5)(2x^2 — 3x + 2) = 0$

$x^2 — 4x + 5 = 0 \quad \quad \quad \quad 2x^2 — 3x + 2 = 0$

$D = 16 — 4 \cdot 5 = -4 < 0 \quad \quad \quad D = 9 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = -7 < 0$

— корней нет.  — корней нет.

Ответ: корней нет.

в) $(3x^2 — 5x + 2)(2x^2 + 3x — 1) = 0$

$3x^2 — 5x + 2 = 0 \quad \quad \quad \quad 2x^2 + 3x — 1 = 0$

$D = 25 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 \quad \quad \quad D = 9 + 4 \cdot 2 = 17 > 0$

— два корня.  — два корня.

Ответ: четыре корня.

г) $(36x^2 — 12x + 1)(5x^2 — 2x — 3) = 0$

$36x^2 — 12x + 1 = 0 \quad \quad \quad \quad 5x^2 — 2x — 3 = 0$

$D = 144 — 4 \cdot 36 = 0 \quad \quad \quad D = 4 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 > 0$

— один корень.  — два корня.

Ответ: три корня.

д) $(x^2 — 5x + 6)(x^2 — 2x — 3) = 0$

$x^2 — 5x + 6 = 0 \quad \quad \quad \quad x^2 — 2x — 3 = 0$

$D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \quad \quad \quad D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 > 0$

— два корня.  — два корня.

Ответ: четыре корня.

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 — 9x + 4) = 0$

Разделим уравнение на два произведения:

$$4x^2 + x + 1 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 — 9x + 4 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для первого уравнения $4x^2 + x + 1 = 0$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 — 16 = -15$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у первого уравнения нет корней.

Рассчитаем дискриминант для второго уравнения $x^2 — 9x + 4 = 0$:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 — 16 = 65$$

Поскольку дискриминант положителен, у второго уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-9)-\sqrt{65}}{2\cdot 1}=\frac{9-\sqrt{65}}{2}$$

$$x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{9 — \sqrt{65}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2}$$

Ответ: два корня.

б) $(x^2 — 4x + 5)(2x^2 — 3x + 2) = 0$

Разделим уравнение на два произведения:

$$x^2 — 4x + 5 = 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 — 3x + 2 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для первого уравнения $x^2 — 4x + 5 = 0$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у первого уравнения нет корней.

Рассчитаем дискриминант для второго уравнения $2x^2 — 3x + 2 = 0$:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 — 16 = -7$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у второго уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

в) $(3x^2 — 5x + 2)(2x^2 + 3x — 1) = 0$

Разделим уравнение на два произведения:

$$3x^2 — 5x + 2 = 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 + 3x — 1 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для первого уравнения $3x^2 — 5x + 2 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1$$

Поскольку дискриминант положителен, у первого уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 3}=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Рассчитаем дискриминант для второго уравнения $2x^2 + 3x — 1 = 0$:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$$

Поскольку дискриминант положителен, у второго уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_3=\frac{-3-\sqrt{17}}{2\cdot 2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$$

$$x_3 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — \sqrt{17}}{4}$$ $$x_4 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$$

Ответ: четыре корня.

г) $(36x^2 — 12x + 1)(5x^2 — 2x — 3) = 0$

Разделим уравнение на два произведения:

$$36x^2 — 12x + 1 = 0 \quad \text{и} \quad 5x^2 — 2x — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для первого уравнения $36x^2 — 12x + 1 = 0$:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 — 144 = 0$$

Поскольку дискриминант равен нулю, у первого уравнения есть один корень:

$$x_1 = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$$

Рассчитаем дискриминант для второго уравнения $5x^2 — 2x — 3 = 0$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$

Поскольку дискриминант положителен, у второго уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2\cdot 5}=\frac{2-8}{10}=\frac{-6}{10}=-0.6$$

$$x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 — 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ $$x_3 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Ответ: три корня.

д) $(x^2 — 5x + 6)(x^2 — 2x — 3) = 0$

Разделим уравнение на два произведения:

$$x^2 — 5x + 6 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 — 2x — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для первого уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Поскольку дискриминант положителен, у первого уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Рассчитаем дискриминант для второго уравнения $x^2 — 2x — 3 = 0$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Поскольку дискриминант положителен, у второго уравнения два корня. Для их нахождения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x_3=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$x_3 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_4 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: четыре корня.