ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 434 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

8 класс

Класс

Предмет

ГДЗ Дорофеев 7, 8, 9 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 434 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Покажите, что:

а) Числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения

$x^2 — (m + n)x + mn = 0.$

б) Числа $m + n$ и $m — n$ являются корнями уравнения

$x^2 — 2mx + m^2 — n^2 = 0.$

Составьте уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

Краткий ответ

а)

$x^{2} - (m + n) x + m n = 0, x = m и x = n;$

$m^{2} - (m + n) m + m n = 0$

$m^{2} - m^{2} - m n + m n = 0$

$n^{2} - (m + n) n + m n = 0$

$n^{2} - m n - n^{2} + m n = 0$

$0 = 0 — корень уравнения.$

Пусть $m = 3$ ; $n = 4$ :

$x^{2} - (3 + 4) x + 3 \cdot 4 = 0$

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$

$x = 3; x = 4.$

б)

$x^{2} - 2 m x + m^{2} - n^{2} = 0, x = m + n и x = m - n;$

$(m + n)^{2} - 2 m (m + n) + m^{2} - n^{2} = 0$

$m^{2} + 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

$0 = 0 — корень уравнения.$

$(m - n)^{2} - 2 m (m - n) + m^{2} - n^{2} = 0$

$m^{2} - 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} + 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

$0 = 0 — корень уравнения.$

Пусть $m = 4$ ; $n = 3$ , тогда: $m + n = 7$ ; $m - n = 1$ ;

$x^{2} - 2 \cdot 4 x + 4^{2} - 3^{2} = 0$

$x^{2} - 8 x + 16 - 9 = 0$

$x^{2} - 8 x + 7 = 0$

$x = 1; x = 7.$

Подробный ответ

а)

Уравнение:

$x^{2} - (m + n) x + m n = 0, x = m и x = n;$

Шаг 1: Начнем с того, что выразим уравнение в разложенной форме:

$x^{2} - (m + n) x + m n = 0$

Это уравнение квадратное и имеет вид стандартного уравнения второй степени $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a = 1$ , $b = - (m + n)$ , и $c = m n$ .

Шаг 2: Проверим, что $x = m$ и $x = n$ являются корнями этого уравнения, подставив их в уравнение.

Подставим $x = m$ :

$m^{2} - (m + n) m + m n = 0$

Раскроем скобки:

$m^{2} - m^{2} - m n + m n = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m$ является корнем уравнения.

Подставим $x = n$ :

$n^{2} - (m + n) n + m n = 0$

Раскроем скобки:

$n^{2} - m n - n^{2} + m n = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = n$ также является корнем уравнения.

Шаг 3: Проверим пример, подставив конкретные значения для $m$ и $n$ . Пусть $m = 3$ и $n = 4$ :

Подставим значения в уравнение:

$x^{2} - (3 + 4) x + 3 \cdot 4 = 0$

Упростим:

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$

Шаг 4: Найдем корни этого уравнения. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{- (- 7) \pm \sqrt{(- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$ $x = \frac{7 \pm 1}{2}$

Шаг 5: Получаем два корня:

$x = \frac{7 + 1}{2} = 4, x = \frac{7 - 1}{2} = 3$

Ответ: $x = 3$ ; $x = 4$ .

б)

Уравнение:

$x^{2} - 2 m x + m^{2} - n^{2} = 0, x = m + n и x = m - n;$

Шаг 1: Начнем с того, что преобразуем первое уравнение:

$(m + n)^{2} - 2 m (m + n) + m^{2} - n^{2} = 0$

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим:

$(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ $- 2 m (m + n) = - 2 m^{2} - 2 m n$

Получаем:

$m^{2} + 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

Шаг 3: Упростим выражение:

$m^{2} - m^{2} + m^{2} - 2 m^{2} + 2 m n - 2 m n + n^{2} - n^{2} = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m + n$ является корнем уравнения.

Шаг 4: Теперь рассмотрим второе уравнение:

$(m - n)^{2} - 2 m (m - n) + m^{2} - n^{2} = 0$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$(m - n)^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ $- 2 m (m - n) = - 2 m^{2} + 2 m n$

Получаем:

$m^{2} - 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} + 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

Шаг 6: Упростим выражение:

$m^{2} - 2 m^{2} + m^{2} - 2 m n + 2 m n + n^{2} - n^{2} = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m - n$ является корнем уравнения.

Шаг 7: Подставим конкретные значения для $m = 4$ и $n = 3$ :

Пусть $m + n = 7$ и $m - n = 1$ .

Подставим значения в уравнение:

$x^{2} - 2 \cdot 4 x + 4^{2} - 3^{2} = 0$

Упростим:

$x^{2} - 8 x + 16 - 9 = 0$

$x^{2} - 8 x + 7 = 0$

Шаг 8: Найдем корни этого уравнения. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x = \frac{8 \pm 6}{2}$