ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 430 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте все возможные квадратные уравнения, коэффициентами которых являются числа:
а) 8; 2 и -3; б) 5; 1 и 0.

а)

$8x^2 + 2x — 3 = 0$;

$8x^2 — 3x + 2 = 0$;

$2x^2 + 8x — 3 = 0$;

$2x^2 — 3x + 8 = 0$;

$-3x^2 + 8x + 2 = 0$;

$-3x^2 + 2x + 8 = 0$.

б)

$5x^2 + x = 0$;

$x^2 + 5x = 0$;

$5x^2 + 1 = 0$;

$x^2 + 5 = 0$.

а) Квадратичные уравнения:

1. $8x^2 + 2x — 3 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 8$, $b = 2$, $c = -3$.

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100.$$

Шаг 2: Находим корни уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{-2 \pm 10}{16}.$$

Шаг 3: Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-2 + 10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 — 10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}.$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{3}{4}$.

2. $8x^2 — 3x + 2 = 0$

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 2 = 9 — 64 = -55.$$

Шаг 2: Так как дискриминант отрицателен, корней среди действительных чисел нет.

Ответ: Корней нет.

3. $2x^2 + 8x — 3 = 0$

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 64 + 24 = 88.$$

Шаг 2: Находим корни уравнения:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{4}.$$

Шаг 3: Упрощаем $\sqrt{88}$:

$$\sqrt{88} = 2\sqrt{22}.$$

Подставляем это в формулу для корней:

$$x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{22}}{2}.$$

Ответ: $x = \frac{-4 + \sqrt{22}}{2}$ и $x = \frac{-4 — \sqrt{22}}{2}$.

4. $2x^2 — 3x + 8 = 0$

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 9 — 64 = -55.$$

Шаг 2: Так как дискриминант отрицателен, корней среди действительных чисел нет.

Ответ: Корней нет.

5. $-3x^2 + 8x + 2 = 0$

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 64 + 24 = 88.$$

Шаг 2: Находим корни уравнения:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{-6}.$$

Шаг 3: Упрощаем $\sqrt{88}$:

$$\sqrt{88} = 2\sqrt{22}.$$

Подставляем это в формулу для корней:

$$x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{-6} = \frac{4 \mp \sqrt{22}}{3}.$$

Ответ: $x = \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ и $x = \frac{4 — \sqrt{22}}{3}$.

6. $-3x^2 + 2x + 8 = 0$

Шаг 1: Находим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 4 + 96 = 100.$$

Шаг 2: Находим корни уравнения:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 \pm 10}{-6}.$$

Шаг 3: Находим два корня:

$$x_1 = \frac{-2 + 10}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 — 10}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2.$$

Ответ: $x = -\frac{4}{3}$ и $x = 2$.

б) Линейные уравнения:

1. $5x^2 + x = 0$

Шаг 1: Выносим общий множитель $x$:

$$x(5x + 1) = 0.$$

Шаг 2: Получаем два уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 1 = 0.$$

Шаг 3: Решаем второе уравнение:

$$5x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{5}.$$

Ответ: $x = 0$ и $x = -\frac{1}{5}$.

2. $x^2 + 5x = 0$

Шаг 1: Выносим общий множитель $x$:

$$x(x + 5) = 0.$$

Шаг 2: Получаем два уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0.$$

Шаг 3: Решаем второе уравнение:

$$x = -5.$$

Ответ: $x = 0$ и $x = -5$.

3. $5x^2 + 1 = 0$

Шаг 1: Переносим 1 на другую сторону:

$$5x^2 = -1.$$

Шаг 2: Делим обе стороны на 5:

$$x^2 = -\frac{1}{5}.$$

Шаг 3: Так как квадрат числа не может быть отрицательным в действительных числах, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

4. $x^2 + 5 = 0$

Шаг 1: Переносим 5 на другую сторону:

$$x^2 = -5.$$

Шаг 2: Так как квадрат числа не может быть отрицательным в действительных числах, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

Итоговое решение:

$8x^2 + 2x — 3 = 0$ — $x = \frac{1}{2}$, $x = -\frac{3}{4}$.

$8x^2 — 3x + 2 = 0$ — нет корней.

$2x^2 + 8x — 3 = 0$ — $x = \frac{-4 + \sqrt{22}}{2}$, $x = \frac{-4 — \sqrt{22}}{2}$.

$2x^2 — 3x + 8 = 0$ — нет корней.

$-3x^2 + 8x + 2 = 0$ — $x = \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$, $x = \frac{4 — \sqrt{22}}{3}$.

$-3x^2 + 2x + 8 = 0$ — $x = -\frac{4}{3}$, $x = 2$.

$5x^2 + x = 0$ — $x = 0$, $x = -\frac{1}{5}$.

$x^2 + 5x = 0$ — $x = 0$, $x = -5$.

$5x^2 + 1 = 0$ — нет корней.

$x^2 + 5 = 0$ — нет корней.