ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 425 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Покажите, что:

а) числа $-7$ и $5$ являются корнями уравнения $x^2 + 2x — 35 = 0$

б) число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x — 2 = 0$, а число $-2$ не является

в) числа $1 — \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 — 2x — 1 = 0$

г) число $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 — x — 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5} — 1}{2}$ нет

а) $x^2+2x-35=0,x=-7$ и $x=5;$

$$(-7{)}^2+2\cdot (-7)-35=05^2+2\cdot 5-35=0$$

$$$$$$49-14-35=025+10-35=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}0=0\text{— является корнем.}$$

б) $3x^2+x-2=0,x=\frac{2}{3}$ и $x\mathrm{\ne }-2;$

$$3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-2=0$$

$$$$$$3\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}-2=0$$

$$$$$$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-2=0$$

$$$$$$\frac{6}{3}-2=0$$

$$$$$$2-2=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

$$$$$$3\cdot (-2{)}^2+(-2)-2=0$$

$$$$$$3\cdot 4-4-2=0$$

$$$$$$12-4-2=0$$

$$$$$$8\mathrm{\ne }0\text{— не является корнем.}$$

в) $x^2-2x-1=0,x=1-\sqrt{2}$ и $x=1+\sqrt{2};$

$$(1-\sqrt{2}{)}^2-2(1-\sqrt{2})-1=0$$

$$$$$$1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}-1=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

$$$$$$(1+\sqrt{2}{)}^2-2(1+\sqrt{2})-1=0$$

$$$$$$1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}-1=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

г) $x^2-x-1=0,x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $x\mathrm{\ne }\frac{\sqrt{5}-1}{2};$

$${\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{(1+\sqrt{5}{)}^2}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}-2(1+\sqrt{5})-4}{4}=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4}{4}=0$$$$\frac{0}{4}=0$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

$$$$$${\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}-2(\sqrt{5}-1)-4}{4}\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+2-4}{4}\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{4-4\sqrt{5}}{4}\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$1-\sqrt{5}\mathrm{\ne }0\text{— не является корнем.}$$

а) $x^2+2x-35=0,x=-7$ и $x=5;$

Уравнение:

$$x^2+2x-35=0$$

Проверим для $x=-7$:

$$(-7{)}^2+2\cdot (-7)-35=0$$

$$$$$$49-14-35=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Теперь проверим для $x=5$:

$$5^2+2\cdot 5-35=0$$

$$$$$$25+10-35=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Ответ: $x=-7$ и $x=5$ являются корнями.

б) $3x^2+x-2=0,x=\frac{2}{3}$ и $x\mathrm{\ne }-2;$

Уравнение:

$$3x^2+x-2=0$$

Проверим для $x=\frac{2}{3}$:

$$3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-2=0$$$$3\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}-2=0$$

$$$$$$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-2=0$$

$$$$$$\frac{6}{3}-2=0$$

$$$$$$2-2=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Теперь проверим для $x=-2$:

$$3\cdot (-2{)}^2+(-2)-2=0$$

$$$$$$3\cdot 4-4-2=0$$

$$$$$$12-4-2=0$$

$$$$$$8\mathrm{\ne }0\text{— не является корнем.}$$

Ответ: $x=\frac{2}{3}$ является корнем, $x=-2$ не является корнем.

в) $x^2-2x-1=0,x=1-\sqrt{2}$ и $x=1+\sqrt{2};$

Уравнение:

$$x^2-2x-1=0$$

Проверим для $x=1-\sqrt{2}$:

$$(1-\sqrt{2}{)}^2-2(1-\sqrt{2})-1=0$$

$$$$$$1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}-1=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Теперь проверим для $x=1+\sqrt{2}$:

$$(1+\sqrt{2}{)}^2-2(1+\sqrt{2})-1=0$$

$$$$$$1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}-1=0$$

$$$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Ответ: $x=1-\sqrt{2}$ и $x=1+\sqrt{2}$ являются корнями.

г) $x^2-x-1=0,x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $x\mathrm{\ne }\frac{\sqrt{5}-1}{2};$

Уравнение:

$$x^2-x-1=0$$

Проверим для $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$:

$${\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{(1+\sqrt{5}{)}^2}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}-2(1+\sqrt{5})-4}{4}=0$$$$\frac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4}{4}=0$$$$\frac{0}{4}=0$$$$0=0\text{— является корнем.}$$

Теперь проверим для $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$:

$${\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}-2(\sqrt{5}-1)-4}{4}\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{6-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+2-4}{4}\mathrm{\ne }0$$

$$$$$$\frac{4-4\sqrt{5}}{4}\mathrm{\ne }0$$$$1-\sqrt{5}\mathrm{\ne }0\text{— не является корнем.}$$

Ответ: $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем, а $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ не является корнем.