ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 422 Это Надо Уметь Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Вычислите:
а) $\sqrt{81}$;
б) $\sqrt{\frac{9}{16}}$;
в) $\sqrt{0,64}$.

2. Найдите значение выражения:
а) $\frac{\sqrt{x-y}}{2}$ при $x = 126$, $y = 54$;
в) $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{3}$ при $x = 0,25$, $y = 0,01$;
б) $\frac{\sqrt{x+y}}{5}$ при $x = 27$, $y = 22$;

3. Площадь квадрата, диагональ которого равна $b$, можно вычислить по формуле $S = \frac{b^2}{2}$. Выразите из этой формулы диагональ квадрата $b$.

4. Между какими последовательными целыми числами заключено число:
а) $\sqrt{18}$;
б) $\sqrt{89}$;
в) $\sqrt{160}$?

5. Сравните числа:
а) $\sqrt{26}$ и $\sqrt{62}$;
б) $\sqrt{234}$ и $16$;
в) $-\sqrt{5}$ и $-\sqrt{6}$.

6. Покажите на координатной прямой примерное положение чисел $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{52}$, $-\sqrt{52}$.

7. Пользуясь калькулятором, укажите две последовательные десятичные дроби с двумя знаками после запятой, между которыми заключено число $\sqrt{32}$.

8. Чему равно расстояние между домами $A$ и $B$, расположенными на двух взаимно перпендикулярных улицах, если дом $A$ расположен в $2$ км от перекрестка, а дом $B$ — в $1,5$ км от этого перекрестка?

9. а) Найдите квадратные корни из чисел: $64$; $\frac{4}{9}$; $0,49$; $3$; $2,7$.
б) Найдите арифметический квадратный корень из чисел: $100$; $\frac{1}{4}$; $0,09$; $5$.

10. Решите уравнение:
а) $x^2 = 64$;
в) $(x-1)^2 = 9$;
б) $x^2 — 144 = 0$;
г) $x^2 — 5 = 0$;
д) $(x+5)^2 = 0$.

11. Вычислите, не пользуясь калькулятором:
а) $\sqrt{0,25 \cdot 0,36}$;
в) $\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6}$.

12. Упростите выражение:
а) $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$;
б) $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20}$;
в) $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10}$;
г) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$;
д) $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}$.

13. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении $0,5\sqrt{32}$.

14. Внесите множитель под знак корня в выражении $4\sqrt{2}$, $-2\sqrt{3}$.

15. Сравните числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{6}$.

16. Упростите выражение:
а) $3\sqrt{20} — 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$;
б) $(1+\sqrt{3})^2$;
в) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$.

17. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

18. Найдите значение выражения $2y^2 — 3$ при $y = 1 — \sqrt{2}$.

19. Найдите значение выражения $2y^3$ при $y = 2\sqrt{3}$.

№1.

а)

$$\sqrt{81}=9.$$

б)

$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

в)

$$\sqrt{0,64}=0,8.$$

№2.

а)
При $x=126$, $y=54$:

$$\sqrt{\frac{x-y}{2}}=\sqrt{\frac{126-54}{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6.$$

б)
При $x=27$, $y=22$:

$$\frac{\sqrt{x+y}}{5}=\frac{\sqrt{27+22}}{5}=\frac{\sqrt{49}}{5}=\frac{7}{5}=1,4.$$

в)
При $x=0,25$, $y=0,01$:

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{3}=\frac{\sqrt{0,25}+\sqrt{0,01}}{3}=\frac{0,5+0,1}{3}=\frac{0,6}{3}=0,2.$$

№3.

$$S=\frac{b^2}{2}$$$$b^2=2S$$$$b=\sqrt{2S}\mathrm{.}$$

№4.

$$\sqrt{16}<\sqrt{18}<\sqrt{25}$$

$$4<\sqrt{18}<5;$$

$$\sqrt{81}<\sqrt{89}<\sqrt{100}$$

$$9<\sqrt{89}<10;$$

$$\sqrt{144}<\sqrt{160}<\sqrt{169}$$

$$12<\sqrt{160}<13.$$

№5.

а)

$$\sqrt{26}<\sqrt{62};$$

б)

$$\sqrt{234}<16;$$

в)

$$-\sqrt{5}>-\sqrt{6}\mathrm{.}$$

№6.

$$\sqrt{32}\approx 5,65685.$$

$$5,65<\sqrt{32}<5,66.$$

№7.

Между А и В расстояние:

$$\sqrt{2^2+1,5^2}=\sqrt{4+2,25}=\sqrt{6,25}=2,5\text{ (км)}\mathrm{.}$$

Ответ: $2,5$ км.

№9.

а)

$$a^2=64a^2=\frac{4}{9}{a}^2=0,49a^2=3a^2=2,7$$$$a=\pm 8;a=\pm \frac{2}{3};a=\pm 0,7;a=\pm \sqrt{3};a=\pm 2,7.$$

б)

$$\sqrt{100}=10;\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2};\sqrt{0,09}=0,3;\sqrt{5}\approx 2,24.$$

№10.

а)

$$x^2=64$$

$$x=\pm 8.$$

Ответ: $x=\pm 8$.

б)

$$x^2-144=0$$

$$x^2=144$$

$$x=\pm 12.$$

Ответ: $x=\pm 12$.

в)

$$x^2+25=0$$

$$x^2=-25<0.$$

Ответ: корней нет.

г)

$$x^2-5=0$$

$$x^2=5$$

$$x=\pm \sqrt{5}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \sqrt{5}$.

д)

$$(x-1{)}^2=9$$$$x-1=3,x-1=-3$$$$x=4,x=-2.$$

Ответ: $x=-2$; $x=4$.

№11.

а)

$$\sqrt{0,25\cdot 0,36}=\sqrt{0,25}\cdot \sqrt{0,36}=0,5\cdot 0,6=0,3.$$

б)

$$\sqrt{\frac{256}{81}}=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

в)

$$\sqrt{3^2\cdot 5^4\cdot 2^6}=3\cdot 5^2\cdot 2^3=3\cdot 25\cdot 8=3\cdot 200=600.$$

№12.

а)

$$5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=5\cdot 2\cdot 3=30.$$

б)

$$3\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{20}=3\sqrt{5}\cdot 4\cdot 2\sqrt{5}=3\cdot 4\cdot 2\cdot 5=120.$$

в)

$$\frac{(2\sqrt{5}{)}^2}{10}=\frac{4\cdot 5}{10}=2.$$

г)

$$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}=\sqrt{\frac{8}{50}}=\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}=0,4.$$

д)

$$\frac{2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}=\frac{2\sqrt{10\cdot 2}}{\sqrt{20\cdot 4}}=\frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1.$$

№13.

а)

$$0,5\sqrt{32}=0,5\cdot \sqrt{16\cdot 2}=0,5\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

№14.

а)

$$4\sqrt{2}=\sqrt{4^2\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}\mathrm{.}$$

б)

$$-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^2\cdot 3}=-\sqrt{12}\mathrm{.}$$

№15.

$$5\sqrt{3}>3\sqrt{6};$$

$$\sqrt{25\cdot 3}>\sqrt{9\cdot 6};$$

$$\sqrt{75}>\sqrt{54}\mathrm{.}$$

№16.

а)

$$3\sqrt{20}-3\sqrt{45}+4\sqrt{5}=3\cdot 2\sqrt{5}-3\cdot 3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=$$

$$=6\sqrt{5}-9\sqrt{5}+4\sqrt{5}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

б)

$$(1+\sqrt{3}{)}^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

в)

$$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=7-4=3.$$

№17.

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

№18.

При $y=1-\sqrt{2}$:

$$2y^2-3=2\cdot (1-\sqrt{2}{)}^2-3=2\cdot (1-2\sqrt{2}+2)-3=$$

$$=2\cdot (3-2\sqrt{2})-3=6-4\sqrt{2}-3=3-4\sqrt{2}\mathrm{.}$$

№19.

При $y=2\sqrt{3}$:

$$2y^3=2\cdot (2\sqrt{3}{)}^3=2\cdot 2^3(\sqrt{3}{)}^3=2\cdot 8\cdot 3\sqrt{3}=48\sqrt{3}\mathrm{.}$$

1. а) $\sqrt{81} = 9$.

Распишем вычисление:

$$\sqrt{81} = \sqrt{9 \times 9} = 9.$$

б) $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Распишем вычисление:

$$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}.$$

в) $\sqrt{0,64} = 0,8$.

Распишем вычисление:

$$\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0,8.$$

2. а) при $x = 126$, $y = 54$:

$$\sqrt{\frac{x-y}{2}} = \sqrt{\frac{126-54}{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6.$$

б) при $x = 27$, $y = 22$:

$$\frac{\sqrt{x+y}}{5} = \frac{\sqrt{27+22}}{5} = \frac{\sqrt{49}}{5} = \frac{7}{5} = 1,4.$$

в) при $x = 0,25$, $y = 0,01$:

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{3} = \frac{\sqrt{0,25}+\sqrt{0,01}}{3} = \frac{0,5+0,1}{3} = \frac{0,6}{3} = 0,2.$$

3. Из формулы площади квадрата $S = \frac{b^2}{2}$ выразим диагональ квадрата $b$:

$$S = \frac{b^2}{2} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 2S \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{2S}.$$

4. Между какими целыми числами заключены следующие значения:

Для $\sqrt{18}$:

$$\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25} \quad \Rightarrow \quad 4 < \sqrt{18} < 5.$$

Для $\sqrt{89}$:

$$\sqrt{81} < \sqrt{89} < \sqrt{100} \quad \Rightarrow \quad 9 < \sqrt{89} < 10.$$

Для $\sqrt{160}$:

$$\sqrt{144} < \sqrt{160} < \sqrt{169} \quad \Rightarrow \quad 12 < \sqrt{160} < 13.$$

5. Сравнение чисел:

а) $\sqrt{26} < \sqrt{62}$:

Так как $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{64} = 8$, то $\sqrt{26}$ и $\sqrt{62}$ лежат между этими значениями, и $\sqrt{26} < \sqrt{62}$.

б) $\sqrt{234} < 16$:

Так как $\sqrt{225} = 15$ и $\sqrt{256} = 16$, то $\sqrt{234} < 16$.

в) $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$:

Поскольку $\sqrt{5} < \sqrt{6}$, то $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$.

6. Приближенные значения для $\sqrt{32}$:

$$\sqrt{32} \approx 5,65685. \quad 5,65 < \sqrt{32} < 5,66.$$

7. Расстояние между домами $A$ и $B$ на перпендикулярных улицах:

$$\sqrt{2^2 + 1,5^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5 \text{ (км)}.$$

8. Решение уравнений:

а) $a^2 = 64$:

$$a = \pm 8.$$

б) $a^2 = \frac{4}{9}$:

$$a = \pm \frac{2}{3}.$$

в) $a^2 = 0,49$:

$$a = \pm 0,7.$$

г) $a^2 = 3$:

$$a = \pm \sqrt{3}.$$

д) $a^2 = 2,7$:

$$a = \pm 2,7.$$

б) $\sqrt{100} = 10$:

$$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}; \quad \sqrt{0,09} = 0,3; \quad \sqrt{5} \approx 2,24.$$

9. Решение уравнений:

а) $x^2 = 64$:

$$x = \pm 8.$$

б) $x^2 — 144 = 0$:

$$x^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 12.$$

в) $x^2 + 25 = 0$:

$$x^2 = -25 < 0. \quad \text{Ответ: корней нет.}$$

г) $x^2 — 5 = 0$:

$$x^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{5}.$$

д) $(x-1)^2 = 9$:

$$x-1 = 3 \quad \text{или} \quad x-1 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \quad \text{или} \quad x = -2.$$

е) $(x+5)^2 = 0$:

$$x+5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5.$$

10. а) $\sqrt{0,25 \cdot 0,36} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{0,36} = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3$.

б) $\sqrt{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{81}} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

в) $\sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 2^6} = 3 \cdot 5^2 \cdot 2^3 = 3 \cdot 25 \cdot 8 = 3 \cdot 200 = 600$.

11. а) $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$.

б) $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20} = 3\sqrt{5} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 = 120$.

в) $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10} = \frac{4 \cdot 5}{10} = 2$.

г) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{8}{50}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4$.

д) $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}} = \frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{20 \cdot 4}} = \frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{20} \cdot 2} = \frac{2}{2} = 1$.

$0,5\sqrt{32} = 0,5 \cdot \sqrt{16 \cdot 2} = 0,5 \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

$4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$.

$-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.

$5\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$;

$\sqrt{25 \cdot 3} > \sqrt{9 \cdot 6}$;

$\sqrt{75} > \sqrt{54}$.

15. а) $3\sqrt{20} — 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} — 3 \cdot 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5} — 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

б) $(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$.

в) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = 7 — 4 = 3$.

16. а) $3\sqrt{20} — 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} — 3 \cdot 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$
Распишем каждый шаг:

$$3\sqrt{20} = 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}, 3\sqrt{45} = 3 \cdot \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}.$$

Таким образом:

$$3\sqrt{20} — 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5} — 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = (6 — 9 + 4)\sqrt{5} = \sqrt{5}.$$

б) $(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$.
Разберем поэтапно:

$$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}.$$

в) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = 7 — 4 = 3$.
Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = (\sqrt{7})^2 — 2^2 = 7 — 4 = 3.$$

17.

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$$

Разберем:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$$

18. при $y = 1 — \sqrt{2}$:

$$2y^2 — 3 = 2 \cdot (1 — \sqrt{2})^2 — 3.$$

Раскроем квадрат:

$$(1 — \sqrt{2})^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 — 2\sqrt{2} + 2 = 3 — 2\sqrt{2}.$$

Теперь подставим в выражение:

$$2y^2 — 3 = 2 \cdot (3 — 2\sqrt{2}) — 3 = 6 — 4\sqrt{2} — 3 = 3 — 4\sqrt{2}.$$

19. при $y = 2\sqrt{3}$:

$$2y^3 = 2 \cdot (2\sqrt{3})^3 = 2 \cdot 2^3 (\sqrt{3})^3.$$

Сначала вычислим кубы:

$$(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}.$$

Таким образом:

$$2y^3=2\cdot 24\sqrt{3}=48\sqrt{3}\mathrm{.}$$

$$2y^3 = 2 \cdot (2\sqrt{3})^3 = 2 \cdot 2^3 (\sqrt{3})^3 = 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.$$