ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 42 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь.

а) $\frac{a(x-y) — b(y-x)}{(a-b)(y-x)}$;

б) $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1) — n(n-1)}$;

в) $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}$;

г) $\frac{(a+b+c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}$.

а) $\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)}=\frac{a(x-y)+b(x-y)}{(a-b)(y-x)}=\frac{(a+b)(x-y)}{(a-b)(y-x)}=\frac{(a+b)(x-y)}{-(a-b)(x-y)}=\frac{a+b}{b-a}$.

б) $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)}=\frac{(1-n)(n-2)}{(n-1)(2-n)}=\frac{(n-1)(2-n)}{(n-1)(2-n)}=1$.

в) $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}=\frac{-(a-p)(b-p)(c-p)}{(a-p)(b-p)(c-p)}=-1$.

г) $\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}=\frac{(a+b-c)(a-b)}{-(a+b+c)(a-c)}=\frac{a-b}{c-a}$.

а)

$$\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)}$$

Шаг 1. Заметим, что $y-x=-(x-y)$.
Тогда:

$$-b(y-x)=-b(-(x-y))=b(x-y)$$

Шаг 2. Преобразуем числитель:

$$a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y)$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$(a-b)(y-x)=(a-b)(-(x-y))=-(a-b)(x-y)$$

Шаг 4. Получаем:

$$\frac{(a+b)(x-y)}{-(a-b)(x-y)}$$

Шаг 5. Сократим $(x-y)$ (при $x\mathrm{\ne }y$):

$$\frac{a+b}{-(a-b)}=\frac{a+b}{b-a}$$

Ответ: $\frac{a+b}{b-a}$

б)

$$\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель:

$$(1-n)(n-2)=-(n-1)(n-2)$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель:

$$2(n-1)-n(n-1)=(n-1)(2-n)$$

Шаг 3. Заметим:

$$(1-n)=-(n-1),(n-2)=-(2-n)$$

Шаг 4. Тогда числитель становится:

$$(n-1)(2-n)$$

Шаг 5. Знаменатель:

$$(n-1)(2-n)$$

Шаг 6. Получаем:

$$\frac{(n-1)(2-n)}{(n-1)(2-n)}=1$$

Ответ: $1$

в)

$$\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)}$$

Шаг 1. Заметим:

$$a-p=-(p-a),b-p=-(p-b),c-p=-(p-c)$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$(a-p)(b-p)(c-p)=(-1{)}^3(p-a)(p-b)(p-c)=-(p-a)(p-b)(p-c)$$

Шаг 3. Получаем:

$$\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{-(p-a)(p-b)(p-c)}=-1$$

Ответ: $-1$

г)

$$\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}$$

Шаг 1. Заметим:

$$c-a-b=-(a+b-c)$$

Шаг 2. Тогда знаменатель:

$$(c-a-b)(a-c)=-(a+b-c)(a-c)$$

Шаг 3. Числитель:

$$(a+b-c)(a-b)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(a+b-c)(a-b)}{-(a+b-c)(a-c)}$$

Шаг 5. Сократим $(a+b-c)$ (при $a+b\mathrm{\ne }c$):

$$\frac{a-b}{-(a-c)}=\frac{a-b}{c-a}$$

Ответ: $\frac{a-b}{c-a}$