ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 418 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{2-3\sqrt{a}+a}{6-3\sqrt{a}}$

б) $\frac{3-2\sqrt{x}-x}{9+3\sqrt{x}}$

Указание. а) Введите замену $y=\sqrt{a}$ и выполните разложение на множители.

а) Заменим $\sqrt{a} = y$;
$\frac{2 — 3\sqrt{a} + a}{6 — 3\sqrt{a}} = \frac{2 — 3y + y^2}{6 — 3y} = \frac{2 — y — 2y + y^2}{3(2 — y)}$
$= \frac{(2 — y) — y(2 — y)}{3(2 — y)} = \frac{(2 — y)(1 — y)}{3(2 — y)} = \frac{1 — y}{3} = \frac{1 — \sqrt{a}}{3}$

б) Заменим$\sqrt{x} = y$;
$\frac{3 — 2\sqrt{x} — x}{9 + 3\sqrt{x}} = \frac{3 — 2y — y^2}{9 + 3y} = \frac{3 + y — 3y — y^2}{3(3 + y)}$
$= \frac{(3 + y) — y(3 + y)}{3(3 + y)} = \frac{(3 + y)(1 — y)}{3(3 + y)} = \frac{1 — y}{3} = \frac{1 — \sqrt{x}}{3}$

а) Заменим $\sqrt{a}=y$:

Исходное выражение:

$$\frac{2-3\sqrt{a}+a}{6-3\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Заменим $\sqrt{a}=y$:

$$\frac{2-3y+y^2}{6-3y}\mathrm{.}$$

Перепишем числитель, выделив $y$:

$$2-3y+y^2=2-y-2y+y^2\mathrm{.}$$

Получаем:

$$\frac{2-y-2y+y^2}{6-3y}=\frac{2-y-2y+y^2}{3(2-y)}\mathrm{.}$$

Разделим числитель на два слагаемых:

$$\frac{(2-y)-y(2-y)}{3(2-y)}\mathrm{.}$$

Сократим $(2-y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(2-y)(1-y)}{3(2-y)}=\frac{1-y}{3}\mathrm{.}$$

Подставляем $y=\sqrt{a}$:

$$\frac{1-y}{3}=\frac{1-\sqrt{a}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{a}}{3}$.

б) Заменим $\sqrt{x}=y$:

Исходное выражение:

$$\frac{3-2\sqrt{x}-x}{9+3\sqrt{x}}\mathrm{.}$$

Заменим $\sqrt{x}=y$:

$$\frac{3-2y-y^2}{9+3y}\mathrm{.}$$

Перепишем числитель:

$$3-2y-y^2=3+y-3y-y^2\mathrm{.}$$

Теперь получаем:

$$\frac{3+y-3y-y^2}{3(3+y)}\mathrm{.}$$

Разделим числитель на два слагаемых:

$$\frac{(3+y)-y(3+y)}{3(3+y)}\mathrm{.}$$

Сократим $(3+y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(3+y)(1-y)}{3(3+y)}=\frac{1-y}{3}\mathrm{.}$$

Подставляем $y=\sqrt{x}$:

$$\frac{1-y}{3}=\frac{1-\sqrt{x}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{x}}{3}$.