ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 41 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь.

а) $\frac{y^2 — y}{1 — y^2}$;

б) $\frac{a^2 — 4}{2a — a^2}$;

в) $\frac{3x — 3c}{ac — ax}$;

г) $\frac{5a^2 — 10ab}{2b^2 — ab}$;

д) $\frac{m^2 — n^2}{(n — m)^2}$;

е) $\frac{z^2 — 3z}{9 — 6z + z^2}$;

ж) $\frac{x^3 — x}{x — x^2}$;

з) $\frac{a^2x — ax^2}{x^2 — ax}$;

и) $\frac{p^2 — 2pn + n^2}{n^2 — pn}$.

а) $\frac{y^2-y}{1-y^2}=\frac{y(y-1)}{(1-y)(1+y)}=\frac{-y(1-y)}{(1-y)(1+y)}=-\frac{y}{1+y}$.

б) $\frac{a^2-4}{2a-a^2}=\frac{(a-2)(a+2)}{a(2-a)}=\frac{(a-2)(a+2)}{-a(a-2)}=-\frac{a+2}{a}$.

в) $\frac{3x-3c}{ac-ax}=\frac{3(x-c)}{a(c-x)}=\frac{-3(c-x)}{a(c-x)}=-\frac{3}{a}$.

г) $\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab}=\frac{5a(a-2b)}{b(2b-a)}=\frac{-5a(2b-a)}{b(2b-a)}=-\frac{5a}{b}$.

д) $\frac{m^2-n^2}{(n-m{)}^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{(m-n{)}^2}=\frac{m+n}{m-n}$.

е) $\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2}=\frac{z(z-3)}{(3-z{)}^2}=\frac{z(z-3)}{(z-3{)}^2}=\frac{z}{z-3}$.

ж) $\frac{x^3-x}{x-x^2}=\frac{x(x^2-1)}{x(1-x)}=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}=-(x+1)=-x-1$.

з) $\frac{a^{2}x-a{x}^2}{x^2-ax}=\frac{ax(a-x)}{x(x-a)}=\frac{-a(x-a)}{x-a}=-a$.

и) $\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn}=\frac{(p-n{)}^2}{n(n-p)}=\frac{(n-p{)}^2}{n(n-p)}=\frac{n-p}{n}$.

а)

$$\frac{y^2-y}{1-y^2}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $y$:

$$y^2-y=y(y-1)$$

Шаг 2. В знаменателе узнаем разность квадратов:

$$1-y^2=(1-y)(1+y)$$

Шаг 3. Получаем:

$$\frac{y(y-1)}{(1-y)(1+y)}$$

Шаг 4. Заметим, что $y-1=-(1-y)$, тогда:

$$\frac{y\cdot (-(1-y))}{(1-y)(1+y)}=\frac{-y(1-y)}{(1-y)(1+y)}$$

Шаг 5. Сократим $(1-y)$ (при $y\mathrm{\ne }1$):

$$\frac{-y\cancel{(1-y)}}{\cancel{(1-y)}(1+y)}=-\frac{y}{1+y}$$

Ответ: $-\frac{y}{1+y}$

б)

$$\frac{a^2-4}{2a-a^2}$$

Шаг 1. Разложим числитель:

$$a^2-4=(a-2)(a+2)$$

Шаг 2. В знаменателе вынесем $a$:

$$2a-a^2=a(2-a)$$

Шаг 3. Заметим, что $2-a=-(a-2)$, значит:

$$a(2-a)=-a(a-2)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(a-2)(a+2)}{-a(a-2)}$$

Шаг 5. Сократим $a-2$ (при $a\mathrm{\ne }2$):

$$\frac{\cancel{(a-2)}(a+2)}{-a\cancel{(a-2)}}=-\frac{a+2}{a}$$

Ответ: $-\frac{a+2}{a}$

в)

$$\frac{3x-3c}{ac-ax}$$

Шаг 1. В числителе вынесем 3:

$$3x-3c=3(x-c)$$

Шаг 2. В знаменателе вынесем $a$:

$$ac-ax=a(c-x)$$

Шаг 3. Заметим, что $x-c=-(c-x)$, тогда:

$$3(x-c)=-3(c-x)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{-3(c-x)}{a(c-x)}$$

Шаг 5. Сократим $(c-x)$ (при $x\mathrm{\ne }c$):

$$\frac{-3\cancel{(c-x)}}{a\cancel{(c-x)}}=-\frac{3}{a}$$

Ответ: $-\frac{3}{a}$

г)

$$\frac{5a^2-10ab}{2b^2-ab}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $5a$:

$$5a^2-10ab=5a(a-2b)$$

Шаг 2. В знаменателе вынесем $b$:

$$2b^2-ab=b(2b-a)$$

Шаг 3. Заметим:
$a-2b=-(2b-a)$

Шаг 4. Тогда:

$$\frac{5a(a-2b)}{b(2b-a)}=\frac{5a\cdot (-(2b-a))}{b(2b-a)}=-\frac{5a(2b-a)}{b(2b-a)}$$

Шаг 5. Сократим:

$$\frac{-5a\cancel{(2b-a)}}{b\cancel{(2b-a)}}=-\frac{5a}{b}$$

Ответ: $-\frac{5a}{b}$

д)

$$\frac{m^2-n^2}{(n-m{)}^2}$$

Шаг 1. Числитель — разность квадратов:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$(n-m{)}^2=(-1{)}^2(m-n{)}^2=(m-n{)}^2$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(m-n)(m+n)}{(m-n{)}^2}$$

Шаг 4. Сократим:

$$\frac{\cancel{(m-n)}(m+n)}{\cancel{(m-n)}(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}$$

Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

е)

$$\frac{z^2-3z}{9-6z+z^2}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $z$:

$$z^2-3z=z(z-3)$$

Шаг 2. Знаменатель — полный квадрат:

$$9-6z+z^2=(3-z{)}^2=(z-3{)}^2$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{z(z-3)}{(z-3{)}^2}$$

Шаг 4. Сократим:

$$\frac{z\cancel{(z-3)}}{\cancel{(z-3)}(z-3)}=\frac{z}{z-3}$$

Ответ: $\frac{z}{z-3}$

ж)

$$\frac{x^3-x}{x-x^2}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $x$:

$$x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$

Шаг 2. В знаменателе:

$$x-x^2=x(1-x)=-x(x-1)$$

Шаг 3. Получим:

$$\frac{x(x-1)(x+1)}{-x(x-1)}=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}$$

Шаг 4. Сократим $x-1$:

$$\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{-\cancel{(x-1)}}=-(x+1)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$-(x+1)=-x-1$$

Ответ: $-x-1$

з)

$$\frac{a^{2}x-a{x}^2}{x^2-ax}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $ax$:

$$a^{2}x-a{x}^2=ax(a-x)$$

Шаг 2. В знаменателе:

$$x^2-ax=x(x-a)=-x(a-x)$$

Шаг 3. Получим:

$$\frac{ax(a-x)}{-x(a-x)}=\frac{-a(a-x)}{a-x}=-a$$

Ответ: $-a$

и)

$$\frac{p^2-2pn+n^2}{n^2-pn}$$

Шаг 1. Числитель:

$$p^2-2pn+n^2=(p-n{)}^2$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$n^2-pn=n(n-p)=-n(p-n)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(p-n{)}^2}{-n(p-n)}=-\frac{p-n}{n}$$

Шаг 4. Также верно:

$$\frac{(n-p{)}^2}{n(n-p)}=\frac{n-p}{n}$$

Ответ: $\frac{n-p}{n}$