ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 406 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение $a^2 — b^2c$ является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражений:

а) $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$

б) $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$

а) $\sqrt{12+2\sqrt{11}};$

$a=12,b=2,c=11;$

$a^2-b^{2}c={12}^2-2^2\cdot 11=144-4\cdot 11=144-44=100.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{12+\sqrt{100}}{2}}+\sqrt{\frac{12-\sqrt{100}}{2}}=\sqrt{\frac{12+10}{2}}+\sqrt{\frac{12-10}{2}}=$$$$=\sqrt{\frac{22}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}=\sqrt{11}+\sqrt{1}=\sqrt{11}+1.$$

б) $\sqrt{57+12\sqrt{15}};$

$a=57,b=12,c=15;$

$a^2-b^{2}c={57}^2-{12}^2\cdot 15=3249-144\cdot 15=3249-2160=1089.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}}+\sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}=\sqrt{\frac{57+33}{2}}+\sqrt{\frac{57-33}{2}}=$$$$=\sqrt{\frac{90}{2}}+\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{45}+\sqrt{12}=\sqrt{9\cdot 5}+\sqrt{4\cdot 3}=3\sqrt{5}+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

1) Решение для $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$:

Шаг 1: Используем формулу для выражения вида $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$

Для выражения $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$ будем использовать следующую формулу:

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $a=12$, $b=2$, и $c=11$.

Шаг 2: Вычисляем $a^2-b^{2}c$

Для начала вычислим $a^2-b^{2}c$:

$$a^2-b^{2}c={12}^2-2^2\cdot 11=144-4\cdot 11=144-44=100.$$

Шаг 3: Применяем формулу

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{12+\sqrt{100}}{2}}+\sqrt{\frac{12-\sqrt{100}}{2}}\mathrm{.}$$

Поскольку $\sqrt{100}=10$, то выражение упрощается до:

$$\sqrt{\frac{12+10}{2}}+\sqrt{\frac{12-10}{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}\mathrm{.}$$

Дальше:

$$=\sqrt{11}+\sqrt{1}=\sqrt{11}+1.$$

Ответ:

$$\sqrt{12+2\sqrt{11}}=\sqrt{11}+1.$$

2) Решение для $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$:

Шаг 1: Используем формулу для выражения вида $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$

Теперь применим эту же формулу для $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$, где $a=57$, $b=12$, и $c=15$.

$$\sqrt{57+12\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{57+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}+\sqrt{\frac{57-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $a=57$, $b=12$, и $c=15$.

Шаг 2: Вычисляем $a^2-b^{2}c$

Теперь вычислим $a^2-b^{2}c$:

$$a^2-b^{2}c={57}^2-{12}^2\cdot 15=3249-144\cdot 15=3249-2160=1089.$$

Шаг 3: Применяем формулу

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}}+\sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}\mathrm{.}$$

Поскольку $\sqrt{1089}=33$, то выражение упрощается до:

$$\sqrt{\frac{57+33}{2}}+\sqrt{\frac{57-33}{2}}=\sqrt{\frac{90}{2}}+\sqrt{\frac{24}{2}}\mathrm{.}$$

Дальше:

$$=\sqrt{45}+\sqrt{12}\mathrm{.}$$

Теперь разложим корни:

$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5},\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Итак, получаем:

$$\sqrt{57+12\sqrt{15}}=3\sqrt{5}+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{57+12\sqrt{15}}=3\sqrt{5}+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{12+2\sqrt{11}}=\sqrt{11}+1$
• $\sqrt{57+12\sqrt{15}}=3\sqrt{5}+2\sqrt{3}$