ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 401 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Используя данные таблицы, сравните $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при:

$x=0$;

$x>1$;

$0<x<1$.

2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке $[0;3]$ графики зависимостей $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$ (за единичный отрезок примите 10 клеток).

3) Укажите промежуток, на котором:

$\sqrt[3]{x}>\sqrt{x}$;

$\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}$.

4) Выпишите в порядке возрастания числа:

$$\sqrt{7,4};\sqrt{10};\sqrt{0,96};\sqrt{0,51};\sqrt[3]{7,4};\sqrt[3]{5,1};\sqrt[3]{0,96};1.$$

$$\sqrt{7,4}; \quad \sqrt{10}; \quad \sqrt{0,96}; \quad \sqrt{0,51}; \quad \sqrt[3]{7,4}; \quad \sqrt[3]{5,1}; \quad \sqrt[3]{0,96}; \quad 1.$$

1) при $x=0$:
при $x=1$:
при $x>1$:
при $0<x<1$:

$$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}\mathrm{.}$$$$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}\mathrm{.}$$$$\sqrt{x}>\sqrt[3]{x}\mathrm{.}$$$$\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}\mathrm{.}$$

$\mathrm{2)\; y}=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x},[0;3]$

3) $\sqrt[3]{x}>\sqrt{x}$ на промежутке $(0;1)$;
$\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}$ на промежутке $(1;3)$.

4)$\sqrt{7,4};\sqrt{10};\sqrt{0,96};\sqrt{0,51};\sqrt[3]{7,4};\sqrt[3]{0,96};1.$

В порядке возрастания:

$$\sqrt{0,51}<\sqrt{0,96}<\sqrt[3]{0,96}<1<\sqrt[3]{5,1}<\sqrt[3]{7,4}<\sqrt{7,4}<\sqrt{10}\mathrm{.}$$

1) Сравнение $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при различных значениях $x$:

Мы будем рассматривать четыре случая:

При $x=0$:

• $\sqrt{0}=0$ и $\sqrt[3]{0}=0$.
• Таким образом, при $x=0$ выполняется:$$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}$$

При $x=1$:

• $\sqrt{1}=1$ и $\sqrt[3]{1}=1$.
• Таким образом, при $x=1$ выполняется:$$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}$$

При $x>1$:

• Для значений $x>1$ можно заметить, что функция $\sqrt{x}$ растет быстрее, чем функция $\sqrt[3]{x}$.
• Например:
  • Для $x=2$, $\sqrt{2}\approx 1,41$ и $\sqrt[3]{2}\approx 1,26$, где $\sqrt{2}>\sqrt[3]{2}$.
  • Для $x=3$, $\sqrt{3}\approx 1,73$ и $\sqrt[3]{3}\approx 1,44$, где $\sqrt{3}>\sqrt[3]{3}$.
• Следовательно, при $x>1$ выполняется:$$\sqrt{x}>\sqrt[3]{x}$$

При $0<x<1$:

• Для значений $0<x<1$ функция $\sqrt[3]{x}$ растет быстрее, чем функция $\sqrt{x}$.

Например:

• Для $x=0,2$, $\sqrt{0,2}\approx 0,45$ и $\sqrt[3]{0,2}\approx 0,58$, где $\sqrt[3]{0,2}>\sqrt{0,2}$.
• Для $x=0,4$, $\sqrt{0,4}\approx 0,63$ и $\sqrt[3]{0,4}\approx 0,74$, где $\sqrt[3]{0,4}>\sqrt{0,4}$.
• Следовательно, при $0<x<1$ выполняется:$$\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}$$

2) Построение графиков для функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$ на отрезке $[0;3]$:

Графики для этих функций на отрезке $[0;3]$ могут быть построены следующим образом:

• $y=\sqrt{x}$ является возрастной функцией, которая увеличивается с ростом $x$.
• $y=\sqrt[3]{x}$ также возрастает, но на промежутке $0<x<1$ увеличивается быстрее, чем $\sqrt{x}$, а на промежутке $x>1$ — медленнее.

Графики этих функций будут пересекаться в точке $x=1$, и по мере увеличения $x$ разница между значениями функций будет увеличиваться.

3) Сравнение $\sqrt[3]{x}$ и $\sqrt{x}$ на промежутках:

• На промежутке $(0;1)$, $\sqrt[3]{x}>\sqrt{x}$, поскольку на этом промежутке кубический корень растет быстрее, чем квадратный.
• На промежутке $(1;3)$, $\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}$, поскольку на этом промежутке квадратный корень растет быстрее, чем кубический.

Это объясняется тем, что при $0<x<1$ функция $\sqrt[3]{x}$ увеличивается быстрее, а при $x>1$ функция $\sqrt{x}$ увеличивается быстрее.

4) Сравнение чисел:

Рассмотрим последовательность чисел:

$$\sqrt{7,4};\sqrt{10};\sqrt{0,96};\sqrt{0,51};\sqrt[3]{7,4};\sqrt[3]{0,96};1.$$

Для упорядочивания этих чисел изначально вычислим их приближенные значения:

• $\sqrt{7,4}\approx 2,72$
• $\sqrt{10}\approx 3,16$
• $\sqrt{0,96}\approx 0,98$
• $\sqrt{0,51}\approx 0,71$
• $\sqrt[3]{7,4}\approx 1,98$
• $\sqrt[3]{0,96}\approx 0,997$
• $1$

Теперь упорядочим эти значения в порядке возрастания:

$$\sqrt{0,51}<\sqrt{0,96}<\sqrt[3]{0,96}<1<\sqrt[3]{7,4}<\sqrt{7,4}<\sqrt{10}\mathrm{.}$$