ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 382 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

а) $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} — \sqrt{\frac{ab}{a}}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} — \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$.

а) $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}=\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}$

$$=\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{a}-\frac{\sqrt{ab}}{a}=\sqrt{\frac{a}{b}}\mathrm{.}$$

б) $\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}$

$$=\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}=\frac{2\sqrt{y}}{y}\mathrm{.}$$

а) $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}=\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}$

Шаг 1: Начнем с того, что выражение состоит из трех частей:

$$\sqrt{\frac{a}{b}},\sqrt{\frac{b}{a}},\text{и}\frac{\sqrt{ab}}{a}\mathrm{.}$$

Мы можем преобразовать вторую часть, используя свойства корней:

$$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Далее, рассмотрим третий элемент:

$$\frac{\sqrt{ab}}{a}\mathrm{.}$$

Здесь мы можем разложить числитель:

$$\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}{a}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$, мы получаем:

$$\frac{\sqrt{ab}}{a}=\frac{\sqrt{ab}}{a}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{ab}}{a}\mathrm{.}$$

Здесь $\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{a}$, поэтому выражение преобразуется в:

$$=\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{a}-\frac{\sqrt{ab}}{a}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Видим, что две последние части сокращаются:

$$\frac{\sqrt{ab}}{a}-\frac{\sqrt{ab}}{a}=0.$$

Шаг 5: Оставшаяся часть:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}\mathrm{.}$$

б) $\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}$

Шаг 1: Упростим выражение, начиная с первой части:

$$\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{.}$$

Аналогично для второй части:

$$\sqrt{\frac{1}{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\sqrt{y}}{y}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Теперь переходим к третьей и четвертой частям:

$$\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}},\frac{\sqrt{y}}{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Теперь упрощаем, видим, что два выражения $\frac{1}{\sqrt{x}}$ и два выражения $\frac{1}{\sqrt{y}}$ сокращаются:

$$=2\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2\sqrt{y}}{y}\mathrm{.}$$