ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 380 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби (примените результаты упражнения 379):

а) $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$;

б) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} — \sqrt{2}}$;

в) $\frac{7 — \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$;

г) $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{5}}{\sqrt{11} — \sqrt{5}}$;

д) $\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{10} — 3}$;

е) $\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}$.

а) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$.

б) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{3+\sqrt{6}}{3-2}=3+\sqrt{6}$.

в) $\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{(7-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{21-7\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5}{9-5}=\frac{26-10\sqrt{5}}{4}=\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.

г) $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}=\frac{11+2\sqrt{55}+5}{11-5}=\frac{16+2\sqrt{55}}{6}=\frac{8+\sqrt{55}}{3}$.

д) $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}=\frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{10}+3)}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}}{10-9}=\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}$.

е) $\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+3\sqrt{3})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{27-6\sqrt{6}+2}{27-2}=\frac{29-6\sqrt{6}}{25}$.

а) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$

Шаг 1: Для рационализации знаменателя используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Здесь $a=2$, $b=\sqrt{3}$. Тогда:

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1.$$

Шаг 2: Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$2-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

б) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{3+\sqrt{6}}{3-2}=3+\sqrt{6}$

Шаг 1: Применяем формулу разности квадратов для знаменателя:

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1.$$

Шаг 2: Подставляем в выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{1}=\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножаем:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Получаем:

$$3+\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$3+\sqrt{6}\mathrm{.}$$

в) $\frac{7-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{(7-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{21-7\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5}{9-5}=\frac{26-10\sqrt{5}}{4}=\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$

Шаг 1: Для рационализации знаменателя снова используем формулу разности квадратов:

$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5}{)}^2=9-5=4.$$

Шаг 2: Умножаем числитель:

$$(7-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=7\cdot 3-7\cdot \sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot 3+\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=21-7\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5.$$

Шаг 3: Упростим числитель:

$$21+5=26,-7\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-10\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Значит числитель:

$$26-10\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Теперь подставляем в выражение:

$$\frac{26-10\sqrt{5}}{4}\mathrm{.}$$

Можно разделить каждый элемент на 4:

$$\frac{26}{4}-\frac{10\sqrt{5}}{4}=\frac{13}{2}-\frac{5\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$

г) $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})}=\frac{11+2\sqrt{55}+5}{11-5}=\frac{16+2\sqrt{55}}{6}=\frac{8+\sqrt{55}}{3}$

Шаг 1: Применяем формулу разности квадратов для знаменателя:

$$(\sqrt{11}-\sqrt{5})(\sqrt{11}+\sqrt{5})=(\sqrt{11}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=11-5=6.$$

Шаг 2: Умножаем числитель:

$$(\sqrt{11}+\sqrt{5}{)}^2=(\sqrt{11}{)}^2+2\cdot \sqrt{11}\cdot \sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2=11+2\sqrt{55}+5.$$

Шаг 3: Упростим числитель:

$$11+5=16.$$

Таким образом, числитель:

$$16+2\sqrt{55}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Теперь подставляем в выражение:

$$\frac{16+2\sqrt{55}}{6}\mathrm{.}$$

Разделим на 6:

$$\frac{16}{6}+\frac{2\sqrt{55}}{6}=\frac{8}{3}+\frac{\sqrt{55}}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{8+\sqrt{55}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{8+\sqrt{55}}{3}\mathrm{.}$$

д) $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{10}-3}=\frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{10}+3)}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}}{10-9}=\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}$

Шаг 1: Для рационализации знаменателя используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)=(\sqrt{10}{)}^2-3^2=10-9=1.$$

Шаг 2: Умножаем числитель:

$$(1+\sqrt{3})(\sqrt{10}+3)=1\cdot \sqrt{10}+1\cdot 3+\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}+\sqrt{3}\cdot 3.$$

Выполняем умножение:

$$=\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем в выражение:

$$\frac{\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}}{1}=\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{10}+3+\sqrt{30}+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

е) $\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+3\sqrt{3})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{27-6\sqrt{6}+2}{27-2}=\frac{29-6\sqrt{6}}{25}$

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}+3\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+3\sqrt{3})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем разность квадратов для числителя и знаменателя:

$$(\sqrt{2}+3\sqrt{3})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})=(3\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=27-2=25.$$

Для числителя:

$$(3\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=(3\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=27-6\sqrt{6}+2=29-6\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\frac{29-6\sqrt{6}}{25}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{29-6\sqrt{6}}{25}\mathrm{.}$$