ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 377 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} — \sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} — \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} — \sqrt{2}}$.

а) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$

$=\frac{2\sqrt{6}}{6-5}=2\sqrt{6}$.

б) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

$=\frac{3-2\sqrt{6}+2-(3+2\sqrt{6}+2)}{3-2}=\frac{5-2\sqrt{6}-5-2\sqrt{6}}{1}=-4\sqrt{6}$.

а) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$$

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю.
Общий знаменатель для этих двух дробей будет $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})$. Сначала вычислим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$(\sqrt{6}-\sqrt{5})+(\sqrt{6}+\sqrt{5})=\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}=2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})=(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=6-5=1.$$

Шаг 2: Подставляем числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{1}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упростим:

$$\frac{2\sqrt{6}}{1}=2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Ответ: $2\sqrt{6}$.

б) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Шаг 1: Применяем формулу для разности квадратов:

$$(a-b{)}^2-(a+b{)}^2=-(2ab)\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{-2\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем разность квадратов в числителе и знаменателе:

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1.$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\frac{-2\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{1}=-2\cdot (3-2)=-2\cdot 1=-2.$$

Шаг 4: Итоговое упрощение:

$$-2\cdot 2=-4.$$

Ответ: $-4\sqrt{6}$.