ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 375 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Выберите выражение, равное $\sqrt{16 — 6\sqrt{7}}$:

1. $\sqrt{7} — 3$
2. $\sqrt{7} — \sqrt{3}$
3. $3 — \sqrt{7}$

б) Выберите выражение, равное $\sqrt{8 — 4\sqrt{3}}$:

1. $\sqrt{6} — 2$
2. $\sqrt{2} — \sqrt{6}$
3. $\sqrt{6} — \sqrt{2}$

а) $\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{9-2\cdot 3\sqrt{7}+7}=\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$

$=\mathrm{\mid }3-\sqrt{7}\mathrm{\mid }=3-\sqrt{7}$.

Ответ: $3-\sqrt{7}$.

б) $\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6-4\sqrt{3}+2}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}$

$=\mathrm{\mid }\sqrt{6}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

а) $\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{9-2\cdot 3\sqrt{7}+7}=\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{16-6\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Нам нужно упростить это выражение.

Шаг 1: Представляем $16-6\sqrt{7}$ в виде квадрата разности:

$$\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Чтобы это доказать, развернем $(3-\sqrt{7}{)}^2$ и проверим:

$$(3-\sqrt{7}{)}^2=3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{7}+(\sqrt{7}{)}^2=9-6\sqrt{7}+7.$$

Получаем:

$$9-6\sqrt{7}+7=16-6\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Таким образом, мы показали, что $\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$.

Шаг 3: Теперь, по определению модуля (абсолютной величины), мы имеем:

$$\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=\mathrm{\mid }3-\sqrt{7}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Шаг 4: Так как $3-\sqrt{7}$ — это положительное число (так как $\sqrt{7}\approx 2.64575$, и $3-2.64575$ действительно положительно), мы получаем:

$$\mathrm{\mid }3-\sqrt{7}\mathrm{\mid }=3-\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Ответ: $3-\sqrt{7}$.

б) $\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6-4\sqrt{3}+2}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{8-4\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Нам нужно упростить это выражение.

Шаг 1: Представляем $8-4\sqrt{3}$ в виде квадрата разности:

$$\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Чтобы это доказать, развернем $(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2$ и проверим:

$$(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{6}{)}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=6-2\sqrt{12}+2.$$

Упростим:

$$6-2\sqrt{12}+2=6-4\sqrt{3}+2=8-4\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, мы показали, что $\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}$.

Шаг 3: Теперь, по определению модуля (абсолютной величины), мы имеем:

$$\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{6}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Шаг 4: Поскольку $\sqrt{6}\approx 2.449$ и $\sqrt{2}\approx 1.414$, и $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ положительно, мы получаем:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{6}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{6}-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{6}-\sqrt{2}$.