ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 373 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
$$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = 1.$$

$$\text{(а)} \quad \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3 + \sqrt{6}} — \sqrt{3 — \sqrt{6}}) = 3;$$ $$\text{(б)} \quad \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2;$$ $$\text{(в)} \quad \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = 1.$$

а) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot \sqrt{3-\sqrt{6}}=3$

$$\sqrt{3(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}=3$$$$\sqrt{3\cdot (9-6)}=3$$

$$$$$$\sqrt{3\cdot 3}=3$$

$$$$$$3=3.$$

б) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2$

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}=2$$$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{4-(2-\sqrt{2})}=2$$$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=2$$$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{4-2}=2$$

$$$$$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$$

$$$$$$2=2.$$

в) $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

$$\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=1$$$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}=1$$$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})}=1$$$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=1$$

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}=1$$

$$$$$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt{3})}=1$$$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=1$$

$$$$$$\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=1$$$$\sqrt{4-3}=1$$

$$$$$$\sqrt{1}=1$$$$1=1.$$

а) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot \sqrt{3-\sqrt{6}}=3$

Исходное выражение:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot \sqrt{3-\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3+\sqrt{6}}\cdot \sqrt{3-\sqrt{6}}=\sqrt{3\cdot (3+\sqrt{6})\cdot (3-\sqrt{6})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В нашем случае:

$$a=3,b=\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Подставляем в формулу:

$$(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})=3^2-(\sqrt{6}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Находим квадраты:

$$3^2=9,(\sqrt{6}{)}^2=6.$$

Таким образом:

$$9-6=3.$$

Шаг 4: Подставляем это в выражение:

$$\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3.$$

Ответ: $3$.

б) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2$

Исходное выражение:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\sqrt{2\cdot (2+\sqrt{2})\cdot (2+\sqrt{2+\sqrt{2}})\cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов для выражения в скобках:

$$(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})=2^2-(\sqrt{2+\sqrt{2}}{)}^2\mathrm{.}$$

Упростим выражение:

$$2^2=4,(\sqrt{2+\sqrt{2}}{)}^2=2+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Получаем:

$$4-(2+\sqrt{2})=4-2-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Теперь у нас есть:

$$\sqrt{2\cdot (2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

Используем формулу разности квадратов для $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$:

$$(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2.$$

Шаг 4: Подставляем полученное значение:

$$\sqrt{2\cdot 2}=\sqrt{4}=2.$$

Ответ: $2$.

в) $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=1$

Исходное выражение:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})\cdot (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})\cdot (2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов для $(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})$:

$$(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})=2^2-(\sqrt{2+\sqrt{3}}{)}^2=4-(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$

Получаем:

$$4-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Теперь у нас выражение:

$$\sqrt{(2+\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов для $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$:

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1.$$

Шаг 5: Подставляем:

$$\sqrt{1\cdot (2-\sqrt{3}{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Так как $(2-\sqrt{3}{)}^2$ — это выражение в квадрате, результат будет равен:

$$\sqrt{1}=1.$$

Ответ: $1$.