ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 372 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}$

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}$

г) $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}$

а) $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

$=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1$.

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

$=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3$.

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}=\frac{\sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})}}{5\cdot 5}$

$=\frac{\sqrt{30-5}}{25}=\frac{\sqrt{25}}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0.2$.

г) $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{15})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}}{2\cdot 3}$

$=\frac{\sqrt{15-3}}{6}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$a=2,b=\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Подставляем в формулу разности квадратов:

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Находим квадраты:

$$2^2=4,(\sqrt{3}{)}^2=3.$$

Таким образом:

$$4-3=1.$$

Шаг 4: Подставляем в выражение под корнем:

$$\sqrt{1}=1.$$

Ответ: $1$.

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

Исходное выражение:

$$\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$a=4,b=\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Подставляем в формулу разности квадратов:

$$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Находим квадраты:

$$4^2=16,(\sqrt{7}{)}^2=7.$$

Таким образом:

$$16-7=9.$$

Шаг 4: Подставляем в выражение под корнем:

$$\sqrt{9}=3.$$

Ответ: $3$.

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}=\frac{\sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})}}{5\cdot 5}$

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}=\frac{\sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})}}{25}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$a=\sqrt{30},b=\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Подставляем в формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})=(\sqrt{30}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Находим квадраты:

$$(\sqrt{30}{)}^2=30,(\sqrt{5}{)}^2=5.$$

Таким образом:

$$30-5=25.$$

Шаг 4: Подставляем в выражение под корнем:

$$\frac{\sqrt{25}}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\mathrm{.}$$

Ответ: $0.2$.

г) $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{15})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}}{2\cdot 3}$

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Применяем свойство умножения корней:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{15})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}}{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$a=\sqrt{15},b=\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Подставляем в формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3})=(\sqrt{15}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 3: Находим квадраты:

$$(\sqrt{15}{)}^2=15,(\sqrt{3}{)}^2=3.$$

Таким образом:

$$15-3=12.$$

Шаг 4: Подставляем в выражение под корнем:

$$\frac{\sqrt{12}}{6}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Упрощаем:

$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Получаем:

$$\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.