ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 370 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

a) $\frac{3\sqrt{8} — 2\sqrt{12} + \sqrt{20}}{3\sqrt{18} — 2\sqrt{27} + \sqrt{45}}$;

б) $\frac{\sqrt{28} — 2\sqrt{18} — 2\sqrt{12}}{6\sqrt{32} + 4\sqrt{48} — 8\sqrt{7}}$.

а) $\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}=\frac{3\cdot 2\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{3\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$

$=\frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{9\sqrt{2}-6\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{2(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{2}{3}$.

б) $\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}-2\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}}{6\cdot 4\sqrt{2}+4\cdot 4\sqrt{3}-8\sqrt{7}}$

$=\frac{2\sqrt{7}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{24\sqrt{2}+16\sqrt{3}-8\sqrt{7}}=\frac{2(\sqrt{7}-3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}{8(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{7})}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$.

а) $\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}=\frac{3\cdot 2\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{3\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$

Исходное выражение:

$$\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}$$

Шаг 1: Упростим каждое выражение под корнем:

• $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$,
• $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$,
• $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$,
• $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$,
• $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$,
• $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$\frac{3\cdot 2\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{3\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножаем коэффициенты в числителе и знаменателе:

$$\frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{9\sqrt{2}-6\sqrt{3}+3\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Выносим общий множитель из числителя и знаменателя:

• В числителе можно вынести 2:$$6\sqrt{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{5}=2(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})\mathrm{.}$$
• В знаменателе можно вынести 3:$$9\sqrt{2}-6\sqrt{3}+3\sqrt{5}=3(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})\mathrm{.}$$

Подставляем эти множители в выражение:

$$\frac{2(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые множители $(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) $\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}-2\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}}{6\cdot 4\sqrt{2}+4\cdot 4\sqrt{3}-8\sqrt{7}}$

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Упростим каждое выражение под корнем:

• $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$,
• $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$,
• $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$,
• $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$,
• $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$$\frac{2\sqrt{7}-2\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 2\sqrt{3}}{6\cdot 4\sqrt{2}+4\cdot 4\sqrt{3}-8\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножаем коэффициенты:

• $2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$,
• $2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$,
• $6\cdot 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$,
• $4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.

Получаем:

$$\frac{2\sqrt{7}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{24\sqrt{2}+16\sqrt{3}-8\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Выносим общий множитель:

• В числителе можно вынести 2:$$2\sqrt{7}-6\sqrt{2}-4\sqrt{3}=2(\sqrt{7}-3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\mathrm{.}$$
• В знаменателе можно вынести 8:$$24\sqrt{2}+16\sqrt{3}-8\sqrt{7}=8(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{7})\mathrm{.}$$

Подставляем эти множители в выражение:

$$\frac{2(\sqrt{7}-3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}{8(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{7})}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Сокращаем множители 2 и 8:

$$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.