ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 360 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения выражений $\frac{xy}{x + y}$ и $\frac{x — y}{xy}$ при:

а) $x = \sqrt{2}, y = \sqrt{8}$;
б) $x = 2 — \sqrt{3}, y = 2 + \sqrt{3}$;
в) $x = \sqrt{6} — \sqrt{3}, y = \sqrt{6} + \sqrt{3}$;
г) $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}, y = \sqrt{5} — \sqrt{2}$.

а) при $x=\sqrt{2}$, $y=\sqrt{8}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

$$$$$$\frac{x-y}{xy}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$

б) при $x=2-\sqrt{3}$, $y=2+\sqrt{3}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}=\frac{4-3}{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

$$$$$$\frac{x-y}{xy}=\frac{(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{4-3}=\frac{-2\sqrt{3}}{1}=-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

в) при $x=\sqrt{6}-\sqrt{3}$, $y=\sqrt{6}+\sqrt{3}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}+\sqrt{3})}=\frac{6-3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

$$$$$$\frac{x-y}{xy}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})-(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6-3}=\frac{-2\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

г) при $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}, y = \sqrt{5} — \sqrt{2}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{5-2}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{5}};$$

$$\frac{xy}{x + y} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} — \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} — \sqrt{2})} = \frac{5 — 2}{\sqrt{5} + \sqrt{2} + \sqrt{5} — \sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}};$$ $$\frac{x — y}{xy} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) — (\sqrt{5} — \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} — \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} — \sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 — 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

а) при $x=\sqrt{2}$, $y=\sqrt{8}$:

Выражение для $\frac{xy}{x+y}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}\mathrm{.}$$

Сначала вычислим произведение $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$. Используем свойство корней $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4.$$

Теперь выразим знаменатель $\sqrt{2}+\sqrt{8}$. Поскольку $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, получаем:

$$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{4}{3\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Выражение для $\frac{x-y}{xy}$:

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}\mathrm{.}$$

Начнем с числителя $\sqrt{2}-\sqrt{8}$. Мы знаем, что $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, поэтому:

$$\sqrt{2}-\sqrt{8}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Теперь вычислим знаменатель $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4$, как мы уже делали ранее.

Подставляем в выражение:

$$\frac{-\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$

Ответы:

$\frac{xy}{x+y}=\frac{4}{3\sqrt{2}}$,

$\frac{x-y}{xy}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

б) при $x=2-\sqrt{3}$, $y=2+\sqrt{3}$:

Выражение для $\frac{xy}{x+y}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Сначала вычислим числитель $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$ с помощью формулы разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Где:

• $a=2$,
• $b=\sqrt{3}$.

$$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1.$$

Теперь вычислим знаменатель:

$$(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=2+2=4.$$

Подставляем в выражение:

$$\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Выражение для $\frac{x-y}{xy}$:

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Начнем с числителя:

$$(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Числитель $-2\sqrt{3}$, а знаменатель $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ (как мы вычислили ранее).

Подставляем:

$$\frac{-2\sqrt{3}}{1}=-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответы:

$\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{4}$,

$\frac{x-y}{xy}=-2\sqrt{3}$.

в) при $x=\sqrt{6}-\sqrt{3}$, $y=\sqrt{6}+\sqrt{3}$:

Выражение для $\frac{xy}{x+y}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}+\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Числитель вычисляем с помощью формулы разности квадратов:

$$(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})=(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=6-3=3.$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{6}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}+\sqrt{3})=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Подставляем:

$$\frac{3}{2\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Выражение для $\frac{x-y}{xy}$:

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})-(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Числитель:

$$(\sqrt{6}-\sqrt{3})-(\sqrt{6}+\sqrt{3})=\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Знаменатель $(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})=3$ (как мы вычислили ранее).

Подставляем:

$$\frac{-2\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Ответы:

$\frac{xy}{x+y}=\frac{3}{2\sqrt{6}}$,

$\frac{x-y}{xy}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

г) при $x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$, $y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$:

Выражение для $\frac{xy}{x+y}$:

$$\frac{xy}{x+y}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

• Числитель вычисляем с помощью формулы разности квадратов:

$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3.$$

• Знаменатель:

$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\mathrm{.}$$

• Подставляем:

Ответ: