ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 36 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а)$\frac{x^3-x{y}^2}{x^2-xy}$;

б)$\frac{3a^2-6ab+3b^2}{6a-6b}$;

в)$\frac{p^3-p}{p^2-p}$;

г)$\frac{2z^2-8}{6z^2+12z}$;

д)$\frac{an+3a}{a{n}^2+6an+9a}$;

е)$\frac{a^{2}b+a{b}^2}{a^{3}b-a{b}^3}$.

а) $\frac{x^3-x{y}^2}{x^2-xy}=\frac{x(x^2-y^2)}{x(x-y)}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$.

б) $\frac{2z^2-8}{6z^2+12z}=\frac{2(z^2-4)}{6z(z+2)}=\frac{(z-2)(z+2)}{3z(z+2)}=\frac{z-2}{3z}$.

в) $\frac{3a^2-6ab+3b^2}{6a-6b}=\frac{3(a^2-2ab+b^2)}{6(a-b)}=\frac{(a-b{)}^2}{2(a-b)}=\frac{a-b}{2}$.

г) $\frac{an+3a}{a{n}^2+6an+9a}=\frac{a(n+3)}{a(n^2+6n+9)}=\frac{n+3}{(n+3{)}^2}=\frac{1}{n+3}$.

д) $\frac{p^3-p}{p^2-p}=\frac{p(p^2-1)}{p(p-1)}=\frac{(p-1)(p+1)}{p-1}=p+1$.

е) $\frac{a^{2}b+a{b}^2}{a^{3}b-a{b}^3}=\frac{ab(a+b)}{ab(a^2-b^2)}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a-b}$.

а)

$$\frac{x^3-x{y}^2}{x^2-xy}$$

В числителе вынесем общий множитель $x$:

$$x^3-x{y}^2=x(x^2-y^2)$$

Заметим, что $x^2-y^2$— это разность квадратов:

$$x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y)$$

В знаменателе вынесем общий множитель $x$:

$$x^2-xy=x(x-y)$$

Получаем:

$$\frac{x(x-y)(x+y)}{x(x-y)}$$

Сократим на общий множитель $x(x-y)$:

$$\frac{\cancel{x(x-y)}(x+y)}{\cancel{x(x-y)}}=x+y$$

Ответ: $x+y$

б)

$$\frac{2z^2-8}{6z^2+12z}$$

В числителе вынесем $2$:

$$2z^2-8=2(z^2-4)$$

Заметим, что $z^2-4=(z-2)(z+2)$

Числитель:

$$2(z-2)(z+2)$$

В знаменателе вынесем $6z$:

$$6z^2+12z=6z(z+2)$$

Получаем:

$$\frac{2(z-2)(z+2)}{6z(z+2)}$$

Сократим на $(z+2)$:

$$\frac{2(z-2)\cancel{(z+2)}}{6z\cancel{(z+2)}}=\frac{2(z-2)}{6z}$$

Сократим $2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$:

$$\frac{z-2}{3z}$$

Ответ: $\frac{z-2}{3z}$

в)

$$\frac{3a^2-6ab+3b^2}{6a-6b}$$

В числителе вынесем $3$:

$$3a^2-6ab+3b^2=3(a^2-2ab+b^2)$$

Заметим, что $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

В числителе:

$$3(a-b{)}^2$$

В знаменателе вынесем $6$:

$$6a-6b=6(a-b)$$

Получаем:

$$\frac{3(a-b{)}^2}{6(a-b)}$$

Сократим на $(a-b)$:

$$\frac{3(a-b)\cancel{(a-b)}}{6\cancel{(a-b)}}=\frac{3(a-b)}{6}$$

Сократим $3\mathrm{/}6=1\mathrm{/}2$:

$$\frac{a-b}{2}$$

Ответ:  $\frac{a-b}{2}$

г)

$$\frac{an+3a}{a{n}^2+6an+9a}$$

В числителе вынесем $a$:

$$an+3a=a(n+3)$$

В знаменателе вынесем $a$:

$$a{n}^2+6an+9a=a(n^2+6n+9)$$

Заметим, что $n^2+6n+9=(n+3{)}^2$

Тогда:

$$\frac{a(n+3)}{a(n+3{)}^2}$$

Сократим на $a$:

$$\frac{n+3}{(n+3{)}^2}$$

Сократим на $n+3$:

$$\frac{\cancel{n+3}}{(n+3)\cancel{(n+3)}}=\frac{1}{n+3}$$

Ответ: $\frac{1}{n+3}$

д)

$$\frac{p^3-p}{p^2-p}$$

В числителе вынесем $p$:

$$p^3-p=p(p^2-1)$$

Заметим, что $p^2-1=(p-1)(p+1)$

Тогда:

$$p(p-1)(p+1)$$

В знаменателе вынесем $p$:

$$p^2-p=p(p-1)$$

Получаем:

$$\frac{p(p-1)(p+1)}{p(p-1)}$$

Сократим на $p(p-1)$:

$$\frac{\cancel{p(p-1)}(p+1)}{\cancel{p(p-1)}}=p+1$$

Ответ: $p+1$

е)

$$\frac{a^{2}b+a{b}^2}{a^{3}b-a{b}^3}$$

В числителе вынесем $ab$:

$$a^{2}b+a{b}^2=ab(a+b)$$

В знаменателе вынесем $ab$:

$$a^{3}b-a{b}^3=ab(a^2-b^2)$$

Заметим, что $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Тогда:

$$\frac{ab(a+b)}{ab(a-b)(a+b)}$$

Сократим на $ab(a+b)$:

$$\frac{\cancel{ab(a+b)}}{\cancel{ab(a+b)}(a-b)}=\frac{1}{a-b}$$

Ответ: $\frac{1}{a-b}$