ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 342 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$;
б) $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$;
в) $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$;
г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$;
д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$;
е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

а) $2\sqrt{3}>\sqrt{8}$
$\sqrt{2^2\cdot 3}>\sqrt{8}$
$\sqrt{12}>\sqrt{8}$.

б) $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}$
$\sqrt{45}=\sqrt{45}$.

в) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$
$\sqrt{2^2\cdot 6}<\sqrt{3^2\cdot 3}$
$\sqrt{24}<\sqrt{27}$.

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{8}}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 2}$
$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$
$\sqrt{25\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{9\cdot \frac{5}{3}}$
$\sqrt{15}=\sqrt{15}$.

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}>\frac{1}{2}\sqrt{8}$
$\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot 20}>\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 8}$
$\sqrt{\frac{20}{9}}>\sqrt{2}$.

а) $2\sqrt{3}>\sqrt{8}$

Мы начнем с преобразования обеих сторон. Сначала упростим выражение $2\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\sqrt{3}\approx 1.732$, следовательно:

$$2\cdot \sqrt{3}=2\cdot 1.732\approx 3.464$$

Теперь упростим $\sqrt{8}$. Так как $8=4\cdot 2$, получаем:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\cdot \sqrt{2}\approx 2\cdot 1.414\approx 2.828$$

Теперь сравним:

$$3.464>2.828$$

Ответ: $\sqrt{12}>\sqrt{8}$..

б) $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Для доказательства этого равенства, разложим $\sqrt{45}$. Мы знаем, что $45=9\cdot 5$, поэтому:

$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}$$

Ответ: $\sqrt{45}=\sqrt{45}$.

в) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$

Для этого выражения, сначала упростим обе стороны. Начнем с $2\sqrt{6}$. Мы знаем, что $\sqrt{6}\approx 2.449$, следовательно:

$$2\cdot \sqrt{6}=2\cdot 2.449\approx 4.898$$

Теперь упростим $3\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\sqrt{3}\approx 1.732$, следовательно:

$$3\cdot \sqrt{3}=3\cdot 1.732\approx 5.196$$

Теперь сравним:

Ответ: .

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Для того чтобы доказать это равенство, начнем с левой стороны. Упростим $2\sqrt{\frac{1}{8}}$:

$$2\sqrt{\frac{1}{8}}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2.828}\approx 0.707$$

Теперь упростим правую сторону. Мы знаем, что $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ можно записать как:

$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\approx \frac{1}{2}\cdot 1.414=0.707$$

Таким образом, мы получаем:

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$.

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{\frac{5}{3}}$

Начнем с левой стороны. Упростим $5\sqrt{\frac{3}{5}}$:

$$5\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{5^2\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{25\cdot \frac{3}{5}}=\sqrt{15}$$

Теперь упростим правую сторону $3\sqrt{\frac{5}{3}}$:

$$3\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{3^2\cdot \frac{5}{3}}=\sqrt{9\cdot \frac{5}{3}}=\sqrt{15}$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sqrt{15}=\sqrt{15}$$

Ответ: 

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}>\frac{1}{2}\sqrt{8}$

Начнем с левой стороны. Упростим $\frac{1}{3}\sqrt{20}$:

$$\frac{1}{3}\sqrt{20}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{4\cdot 5}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \sqrt{5}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{5}\approx \frac{2}{3}\cdot 2.236\approx 1.491$$

Теперь упростим правую сторону $\frac{1}{2}\sqrt{8}$:

$$\frac{1}{2}\sqrt{8}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}\approx 1.414$$

Теперь сравним:

Ответ: $\sqrt{\frac{20}{9}}>\sqrt{2}$..