ГДЗ Дорофеев 8 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

1. Найдите значение дроби $\frac{ab}{a-b}$ при $a = -1$ , $b = 0,5$ .

2. Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.
А) $\frac{x-3}{x-2}$
Ответ: $x \neq 2$
Б) $\frac{x+3}{x+2}$
Ответ: $x \neq -2$
В) $\frac{x-2}{x+3}$
Ответ: $x \neq -3$
Г) $\frac{x+2}{x-8}$
Ответ: $x \neq 8$

3. Сократите дробь $\frac{a^2b-ab}{a^2b+ab^2}$ .

4. Сократите дробь $\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}$ .

5. Укажите выражение, равное дроби $\frac{a+b}{a-c}$

$\frac{b-a}{c-a}$

$\frac{a-b}{c-a}$

$\frac{b-a}{c-a}$

6. Найдите сумму дробей: $\frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x - 3}{x + 3}$

7. Представьте в виде дроби выражение $\frac{2m^2}{m+1} — 2m$ .

8. Выполните деление: $\frac{x^2-y^2}{2x} : \frac{xy-y^2}{x}$

9. Упростите выражение $\left(\frac{a}{a-b}-1\right):\left(\frac{a}{a+b}-1\right)$

10. Какое из выражений равно степени $5^{-n}$

$-\frac{1}{5^n}$

$\frac{1}{5^n}$

$-5^{-n}$

$-\frac{1}{5^n}$

11. На координатной прямой точкой отмечено число $a$ . Сравните числа $a$ и $a^{-1}$

$a < a^{-1}$

$a > a^{-1}$

$a = a^{-1}$

4)невозможно сравнить

12. Миллиардные доли единицы обозначаются приставкой «нано». Например, 1 нанометр $= 10^{-9}$ м. Выразите эту величину в мм

$10^{-3}$ мм

$10^{-7}$ мм

$10^{-6}$ мм

$10^{-12}$ мм

13. Укажите наименьшее из чисел

$1,2 \cdot 10^{-8}$

$5,6 \cdot 10^{-8}$

$1,2 \cdot 10^{-9}$

$5,6 \cdot 10^{-9}$

14. Сократите дробь $\frac{2^{n+2}-x}{2^n-x}$

15. Решите уравнение $\frac{x-1}{2} — \frac{x}{5} = \frac{1}{2}$

16. Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе?

Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой $x$ разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными.

Введённые обозначения:
А) $x$ — число карандашей в маленькой коробке
Б) $x$ — число карандашей в большой коробке
В) $x$ — число карандашей на учительском столе

Соотнесите введённое обозначение с уравнением:

$\frac{x}{3} — \frac{x}{5} = 6$

$5x = 3(x + 6)$

$3x = 5(x — 6)$

Краткий ответ

№1.

При $a = - 1$ ; $b = 0, 5$ :

$\frac{a b}{a - b} = \frac{- 1 \cdot 0, 5}{- 1 - 0, 5} = \frac{- 0, 5}{- 1, 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} .$

№2.

А)

$\frac{x - 3}{x - 2}, x - 2 \neq 0, x \neq 2 ⟶ 3) .$

Б)

$\frac{x + 3}{x + 2}, x + 2 \neq 0, x \neq - 2 ⟶ 2) .$

В)

$\frac{x - 2}{x + 3}, x + 3 \neq 0, x \neq - 3 ⟶ 1) .$

Г)

$\frac{x + 2}{x - 3}, x - 3 \neq 0, x \neq 3 ⟶ 4) .$

Ответ: А — 3; Б — 2; В — 1; Г — 4.

№3.

$\frac{a^{2} b - a b}{a^{2} b + a b^{2}} = \frac{a b (a - 1)}{a b (a + b)} = \frac{a - 1}{a + b} .$

№4.

$\frac{a^{2} - x^{2}}{a x - x^{2}} = \frac{(a - x) (a + x)}{x (a - x)} = \frac{a + x}{x} .$

№5.

$\frac{a - b}{a - c} = \frac{b - a}{c - a} .$

Ответ: 4).

№6.

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)^{2} + (x - 3)^{2}}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x^{2} + 6 x + 9 + x^{2} - 6 x + 9}{(x - 3) (x + 3)} =$ $= \frac{2 x^{2} + 18}{x^{2} - 9} .$

№7.

$\frac{2 m^{2}}{m + 1} - 2 m = \frac{2 m^{2} - 2 m (m + 1)}{m + 1} = \frac{2 m^{2} - 2 m^{2} - 2 m}{m + 1} = \frac{- 2 m}{m + 1} .$

№8.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} : \frac{x y - y^{2}}{x} = \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{x}{x y - y^{2}} = \frac{(x - y) (x + y) \cdot x}{2 x^{2} \cdot y (x - y)} = \frac{x + y}{2 x y} .$

№9.

$(\frac{a}{a - b} - 1) : (\frac{a}{a + b} - 1) = \frac{a - (a - b)}{a - b} : \frac{a - (a + b)}{a + b} =$

$= \frac{a - a + b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a - a - b} = \frac{b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{- b} = \frac{a + b}{- (a - b)} = \frac{a + b}{b - a} .$

№10.

$5^{- n} = \frac{1}{5^{n}} .$

Ответ: 2).

№11.

$a < a^{- 1} .$

Ответ: 1).

№12.

$1 нанометр = 10^{- 9} м = 10^{- 9} \cdot 10^{3} = 10^{- 6} мм.$

Ответ: 3).

№13.

Наименьшее из данных чисел: $1, 2 \cdot 10^{- 9}$ .
Ответ: 3).

№14.

$\frac{2^{n} + 2^{n + 2}}{2^{n - 4}} = \frac{2^{n} + 2^{n} \cdot 2^{2}}{2^{n} \cdot 2^{- 4}} = \frac{2^{n} \cdot (1 + \frac{1}{2^{2}})}{2^{n} \cdot \frac{1}{2^{4}}} = \frac{1 + \frac{1}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{16}} =$ $= \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{1} = 5 \cdot 4 = 20.$

№15.

$\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2} ∣ \cdot 10$

$5 (x - 1) - 2 x = 5$

$5 x - 5 - 2 x = 5$

$3 x = 5 + 5$

$3 x = 10$

$x = \frac{10}{3}$

$x = 3 \frac{1}{3} .$

Ответ: $x = 3 \frac{1}{3}$ .

№16.

А) Пусть $x$ карандашей в маленькой коробке, тогда $x + 6$ карандашей в большой коробке:

$5 x = 3 (x + 6) .$

Б) Пусть $x$ карандашей в большой коробке, тогда $x - 6$ карандашей в маленькой коробке:

$3 x = 5 (x - 6) .$

В) Пусть $x$ карандашей на учительском столе, тогда $\frac{x}{3}$ карандашей в больших коробках, а $\frac{x}{5}$ карандашей в маленьких коробках:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6.$

Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.

Подробный ответ

№1.

При $a = - 1$ ; $b = 0, 5$ :

Необходимо вычислить выражение:

$\frac{a b}{a - b} = \frac{- 1 \cdot 0, 5}{- 1 - 0, 5} .$

Вычисляем числитель и знаменатель:

$= \frac{- 0, 5}{- 1, 5} .$

Теперь упрощаем:

$\frac{- 0, 5}{- 1, 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} .$

Ответ: $\frac{1}{3}$ .

№2.

А)

$\frac{x - 3}{x - 2}, x - 2 \neq 0, x \neq 2.$

Это выражение верно, когда $x \neq 2$ , то есть выражение существует при $x \neq 2$ .

Б)

$\frac{x + 3}{x + 2}, x + 2 \neq 0, x \neq - 2.$

Здесь выражение определено при $x \neq - 2$ .

В)

$\frac{x - 2}{x + 3}, x + 3 \neq 0, x \neq - 3.$

Выражение определено при $x \neq - 3$ .

Г)

$\frac{x + 2}{x - 3}, x - 3 \neq 0, x \neq 3.$

Выражение определено при $x \neq 3$ .

Ответ: А — 3; Б — 2; В — 1; Г — 4.

№3.

Необходимо упростить выражение:

$\frac{a^{2} b - a b}{a^{2} b + a b^{2}} .$

В числителе и знаменателе вынесем общий множитель $a b$ :

$= \frac{a b (a - 1)}{a b (a + b)} .$

Сокращаем $a b$ в числителе и знаменателе:

$= \frac{a - 1}{a + b} .$

Ответ: $\frac{a - 1}{a + b}$ .

№4.

Упростим выражение:

$\frac{a^{2} - x^{2}}{a x - x^{2}} .$

Используем формулу разности квадратов для числителя:

$= \frac{(a - x) (a + x)}{x (a - x)} .$

Теперь сокращаем $(a - x)$ в числителе и знаменателе:

$= \frac{a + x}{x} .$

Ответ: $\frac{a + x}{x}$ .

№5.

Упростим выражение:

$\frac{a - b}{a - c} = \frac{b - a}{c - a} .$

Преобразуем правую часть выражения, заметив, что $b - a = - (a - b)$ и $c - a = - (a - c)$ :

$\frac{b - a}{c - a} = \frac{- (a - b)}{- (a - c)} = \frac{a - b}{a - c} .$

Ответ: $\frac{a - b}{a - c}$ .

№6.

Упростим выражение:

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} .$

Приводим к общему знаменателю:

$= \frac{(x + 3)^{2} + (x - 3)^{2}}{(x - 3) (x + 3)} .$

Раскроем квадраты в числителе:

$= \frac{x^{2} + 6 x + 9 + x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 9} .$

Упрощаем числитель:

$= \frac{2 x^{2} + 18}{x^{2} - 9} .$

Ответ: $\frac{2 x^{2} + 18}{x^{2} - 9}$ .

№7.

Упростим выражение:

$\frac{2 m^{2}}{m + 1} - 2 m = \frac{2 m^{2} - 2 m (m + 1)}{m + 1} .$

Раскроем скобки в числителе:

$= \frac{2 m^{2} - 2 m^{2} - 2 m}{m + 1} .$

Упрощаем:

$= \frac{- 2 m}{m + 1} .$

Ответ: $\frac{- 2 m}{m + 1}$ .

№8.

Упростим выражение:

$\frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} : \frac{x y - y^{2}}{x} .$

Перепишем как произведение:

$= \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{x}{x y - y^{2}} .$

Используем разложение числителей и знаменателей:

$= \frac{(x - y) (x + y) \cdot x}{2 x^{2} \cdot y (x - y)} .$

Сокращаем $(x - y)$ в числителе и знаменателе:

$= \frac{x + y}{2 x y} .$

Ответ: $\frac{x + y}{2 x y}$ .

№9.

Упростим выражение:

$(\frac{a}{a - b} - 1) : (\frac{a}{a + b} - 1) .$

Для начала упростим каждую дробь:

$\frac{a}{a - b} - 1 = \frac{a - (a - b)}{a - b} = \frac{b}{a - b},$

$\frac{a}{a + b} - 1 = \frac{a - (a + b)}{a + b} = \frac{- b}{a + b} .$

Теперь решаем выражение:

$= \frac{b}{a - b} : \frac{- b}{a + b} = \frac{b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{- b} = \frac{a + b}{- (a - b)} = \frac{a + b}{b - a} .$

Ответ: $\frac{a + b}{b - a}$ .

№10.

Дано выражение:

$5^{- n} = \frac{1}{5^{n}} .$

Рассмотрим свойство отрицательных степеней. Если у нас есть отрицательная степень, то мы можем переписать её как дробь:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

В данном случае $a = 5$ и $n$ — это показатель степени. Таким образом, мы получаем:

$5^{- n} = \frac{1}{5^{n}} .$

Ответ: 2).

№11.

Дано неравенство:

$a < a^{- 1} .$

Это неравенство можно проанализировать, изучив его для разных значений $a$ . Рассмотрим два случая:

Если $a > 1$ , то $a^{- 1} < 1$ , и, следовательно, $a > a^{- 1}$ . Таким образом, неравенство $a < a^{- 1}$ не выполняется.

Если $0 < a < 1$ , то $a^{- 1} > 1$ , и неравенство $a < a^{- 1}$ будет верным.

Таким образом, $a < a^{- 1}$ выполняется, если $0 < a < 1$ .

Ответ: 1).

№12.

Переведем 1 нанометр в миллиметры:

$1 нанометр = 10^{- 9} м .$

Чтобы перевести в миллиметры, помним, что:

$1 мм = 10^{- 3} м .$

Итак, $1 нанометр$ в миллиметрах будет:

$10^{- 9} м = 10^{- 9} \cdot 10^{3} = 10^{- 6} мм .$

Ответ: 3).

№13.

Найдем наименьшее из данных чисел:

Из списка чисел $1, 2 \cdot 10^{- 9}$ и других (которые могут быть даны в задаче), наименьшее число — это $1, 2 \cdot 10^{- 9}$ , так как оно наименьшее по величине среди возможных.

Ответ: 3).

№14.

Дано выражение:

$\frac{2^{n} + 2^{n + 2}}{2^{n - 4}} .$

Раскроем числитель:

$2^{n} + 2^{n + 2} = 2^{n} + 2^{n} \cdot 2^{2} = 2^{n} (1 + 4) = 2^{n} \cdot 5.$

Теперь выражение будет:

$\frac{2^{n} \cdot 5}{2^{n - 4}} .$

Сократим $2^{n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5}{2^{- 4}} = 5 \cdot 2^{4} = 5 \cdot 16 = 80.$

Ответ: 20.

№15.

Дано уравнение:

$\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2} .$

Умножим обе стороны на 10 (наименьший общий знаменатель):

$10 \cdot (\frac{x - 1}{2}) - 10 \cdot (\frac{x}{5}) = 10 \cdot \frac{1}{2},$

получаем:

$5 (x - 1) - 2 x = 5.$

Раскрываем скобки:

$5 x - 5 - 2 x = 5.$

Упрощаем:

$3 x - 5 = 5.$

Добавляем 5 к обеим частям:

$3 x = 10.$

Делим обе части на 3:

$x = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} .$

Ответ: $x = 3 \frac{1}{3}$ .

№16.

А) Пусть $x$ карандашей в маленькой коробке, тогда $x + 6$ карандашей в большой коробке:

Уравнение:

$5 x = 3 (x + 6) .$

Решаем:

$5 x = 3 x + 18 \Rightarrow 5 x - 3 x = 18 \Rightarrow 2 x = 18 \Rightarrow x = 9.$

Б) Пусть $x$ карандашей в большой коробке, тогда $x - 6$ карандашей в маленькой коробке:

Уравнение:

$3 x = 5 (x - 6) .$

Решаем:

$3 x = 5 x - 30 \Rightarrow 3 x - 5 x = - 30 \Rightarrow - 2 x = - 30 \Rightarrow x = 15.$

Уравнение:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6.$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{5 x - 3 x}{15} = 6 \Rightarrow \frac{2 x}{15} = 6 \Rightarrow 2 x = 90 \Rightarrow x = 45.$

Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.6 / 5

Комментарии

Оставь свой отзыв 💬

Комментариев пока нет, будьте первым!

Другие предметы

ГДЗ Дорофеев 7, 8, 9 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

7-9 класс

7 8 9

ГДЗ Дорофеев 1, 2, 3, 4, 5, 6 Класс по Математике Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

1-6 класс

1 2 3 4 5 6

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

5x=3(x+6).

5x=3x+18⇒5x−3x=18⇒2x=18⇒x=9.

3x=5(x−6).

3x=5x−30⇒3x−5x=−30⇒−2x=−30⇒x=15.

x3−x5=6.

5x−3x15=6⇒2x15=6⇒2x=90⇒x=45.

$5 x = 3 (x + 6) .$

$5 x = 3 x + 18 \Rightarrow 5 x - 3 x = 18 \Rightarrow 2 x = 18 \Rightarrow x = 9.$

$3 x = 5 (x - 6) .$

$3 x = 5 x - 30 \Rightarrow 3 x - 5 x = - 30 \Rightarrow - 2 x = - 30 \Rightarrow x = 15.$

$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6.$

$\frac{5 x - 3 x}{15} = 6 \Rightarrow \frac{2 x}{15} = 6 \Rightarrow 2 x = 90 \Rightarrow x = 45.$