ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Это Надо Уметь Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

№1.

а)
При $a=0,5$; $b=2$:

$$\frac{ab}{a-b}=\frac{0,5\cdot 2}{0,5-2}=\frac{1}{-1,5}=-\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

б)
При $x=-10$; $y=-1$:

$$\frac{x^2-y^2}{x}=\frac{(-10{)}^2-(-1{)}^2}{-10}=\frac{100-1}{-10}=\frac{99}{-10}=-9,9.$$

№2.

а)

$$\frac{m}{2m-5};$$

$$2m-5\mathrm{\ne }0$$

$$2m\mathrm{\ne }5$$

$$m\mathrm{\ne }2,5.$$

Ответ: $m$ — любое число, кроме 2,5.

б)

$$\frac{x-3}{x^2};$$$$x^2\mathrm{\ne }0$$$$x\mathrm{\ne }0.$$

Ответ: $x$ — любое число, кроме 0.

в)

$$\frac{n^2-1}{10};$$

Ответ: $n$ — любое число.

№3.

$\alpha =(n-1)\theta$:
а)

$$\theta =\frac{\alpha }{n-1}$$

б)

$$n-1=\frac{\alpha }{\theta }$$$$n=\frac{\alpha }{\theta }+1.$$

№4.

а)

$$\frac{16x^{3}y}{20x^2{y}^2}=\frac{4x}{5y}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{a^2-ab}{a^2}=\frac{a(a-b)}{a^2}=\frac{a-b}{a}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{m^2-n^2}{mn+n^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{n(m+n)}=\frac{m-n}{n}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{c^2+c}{c^2-c}=\frac{c(c+1)}{c(c-1)}=\frac{c+1}{c-1}\mathrm{.}$$

д)

$$\frac{z-1}{a-az}=\frac{z-1}{a(1-z)}=-\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

№5.

а)

$$\frac{x+1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x+1-1}{x-1}=\frac{x}{x-1}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b}=\frac{(a+b{)}^2}{a+b}=a+b\mathrm{.}$$

№6.

а)

$$\frac{1}{2a}-\frac{1}{3a}=\frac{3-2}{6a}=\frac{1}{6a}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{m}{m-n}+\frac{m}{m+n}=\frac{m(m+n)+m(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{m^2+mn+m^2-mn}{m^2-n^2}=$$$$=\frac{2m^2}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{4x}{x^2-y^2}-\frac{4}{x+y}=\frac{4x-4(x-y)}{x^2-y^2}=\frac{4x-4x+4y}{x^2-y^2}=\frac{4y}{x^2-y^2}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{5a}{a-5}+\frac{25}{5-a}=\frac{5a}{a-5}-\frac{25}{a-5}=\frac{5a-25}{a-5}=5.$$

№7.

а)

$$\frac{3b}{a-b}+3=\frac{3b+3(a-b)}{a-b}=\frac{3b+3a-3b}{a-b}=\frac{3a}{a-b}\mathrm{.}$$

б)

$$2c-\frac{bc-6}{b}=\frac{2bc-bc+6}{b}=\frac{bc+6}{b}\mathrm{.}$$

№8.

а)

$$\frac{x^{2}y}{2z}\cdot \frac{z^2}{2xy}=\frac{x^{2}y\cdot z^2}{2z\cdot 2xy}=\frac{xz}{4}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{4b}{a^2-b^2}\cdot \frac{a+b}{2b}=\frac{4b\cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)\cdot 2b}=\frac{2}{a-b}\mathrm{.}$$

в)

$$2ac\cdot \frac{3c}{4a^2}=\frac{2ac\cdot 3c}{4a^2}=\frac{3c^2}{2a^2}\mathrm{.}$$

№9.

а)

$$\frac{m+1}{m}:\frac{3m+3}{m}=\frac{m+1}{m}\cdot \frac{m}{3(m+1)}=\frac{m(m+1)}{m\cdot 3(m+1)}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{x^2-xy}{y}:(x-y)=\frac{x(x-y)}{y\cdot (x-y)}=\frac{x}{y}\mathrm{.}$$

№10.

а)

$$\frac{10}{a^2-4}-\frac{3}{a-2}+\frac{4}{a+2}=\frac{10-3(a+2)+4(a-2)}{a^2-4}=$$$$=\frac{10-3a-6+4a-8}{a^2-4}=\frac{a-4}{a^2-4}\mathrm{.}$$

б)

$$(\frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b})\cdot \frac{a-b}{ab}=\frac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{ab}=$$

$$=\frac{a^2+ab-a^2+ab}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{ab}=\frac{2ab\cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)\cdot ab}=\frac{2}{a+b}\mathrm{.}$$

в)

$$\frac{2c}{c-3}-\frac{c^2+c}{4}\cdot \frac{c+1}{8}=\frac{2c}{c-3}-\frac{c(c+1)\cdot 8}{4\cdot (c+1)}=\frac{2c}{c-3}-\frac{2c}{1}=$$$$=\frac{2c-2c^2+6c}{c-3}=\frac{8c-2c^2}{c-3}\mathrm{.}$$

№11.

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\mathrm{.}$$

а)

$$\frac{1}{a}=\frac{c-b}{bc}\Rightarrow a=\frac{bc}{c-b}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{1}{c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\Rightarrow c=\frac{ab}{a-b}\mathrm{.}$$

№12.

а)

$$8^{-2}=\frac{1}{8^2}=\frac{1}{64}\mathrm{.}$$

б)

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}\mathrm{.}$$

№13.

$$a^{-2}\cdot a^6=a^{-2+6}=a^4\mathrm{.}\frac{x^3}{x^5}=x^{3-5}=x^{-2}\mathrm{.}{\left(c^{10}\right)}^{-3}=c^{-30}\mathrm{.}$$

№14.

а)

$$\frac{a^{-12}\cdot a^6}{a^7}=a^{-12+6-7}=a^{-13}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{(3x^{-2}{)}^{-3}}{3^{-2}\cdot x^{-1}}=\frac{3^2\cdot x^1}{27x^{-6}}=\frac{9x}{27x^{-6}}=\frac{x^7}{3}\mathrm{.}$$

№15.

а)

$$1280000=1,28\cdot 1000000=1,28\cdot {10}^6\mathrm{.}$$

б)

$$0,0000071=7,1:1000000=7,1\cdot {10}^{-6}\mathrm{.}$$

№16.

а)

$$\frac{1,8\cdot {10}^9}{9\cdot {10}^{11}}<0,005$$$$\frac{1,8}{9\cdot {10}^2}<0,005$$$$0,2\cdot {10}^{-2}<0,005$$$$2\cdot {10}^{-3}<5\cdot {10}^{-3}\mathrm{.}$$

б)

$$(1,4\cdot {10}^{-10})(2\cdot {10}^7)<0,003$$

$$1,4\cdot 2\cdot {10}^{-10+7}<0,003$$

$$2,8\cdot {10}^{-3}<3\cdot {10}^{-3}\mathrm{.}$$

№17.

$$\frac{x}{3}-\frac{2x-1}{4}=1\mathrm{\mid }\cdot 12$$

$$4x-3(2x-1)=12$$

$$4x-6x+3=12$$

$$-2x=12-3$$

$$-2x=9$$

$$x=-4,5.$$

Ответ: $x=-4,5$.

№18.

Пусть расстояние от турбазы до станции равно $x$ км, тогда первый турист был в пути $\frac{x}{4}$ ч, а второй турист $\frac{x}{5}$ ч.
Составим уравнение:

$$\frac{x}{4}-\frac{x}{5}=1\mathrm{\mid }\cdot 20$$

$$5x-4x=20$$

$$x=20\text{ (км)}-\text{расстояние от турбазы до станции.}$$

Ответ: $20$ км.

№1.

а) При $a=0,5$; $b=2$:

Нам нужно вычислить выражение:

$$\frac{ab}{a-b}=\frac{0,5\cdot 2}{0,5-2}=\frac{1}{-1,5}\mathrm{.}$$

Теперь упростим дробь:

$$-1,5=-\frac{3}{2},$$

и получаем:

$$\frac{1}{-1,5}=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

б) При $x=-10$; $y=-1$:

Нам нужно вычислить выражение:

$$\frac{x^2-y^2}{x}=\frac{(-10{)}^2-(-1{)}^2}{-10}=\frac{100-1}{-10}=\frac{99}{-10}=-9,9.$$

Ответ: $-9,9$.

№2.

а)
Выражение:

$$\frac{m}{2m-5}\mathrm{.}$$

Знаменатель $2m-5$ не должен быть равен нулю, то есть:

$$2m-5\mathrm{\ne }0.$$

Решаем это уравнение:

$$2m\mathrm{\ne }5\Rightarrow m\mathrm{\ne }2,5.$$

Ответ: $m$ — любое число, кроме $2,5$.

б)
Выражение:

$$\frac{x-3}{x^2}\mathrm{.}$$

Знаменатель $x^2\mathrm{\ne }0$, то есть:

$$x\mathrm{\ne }0.$$

Ответ: $x$ — любое число, кроме $0$.

в)
Выражение:

$$\frac{n^2-1}{10}\mathrm{.}$$

Здесь знаменатель $10\mathrm{\ne }0$, и числитель $n^2-1$ всегда существует. Поэтому:

Ответ: $n$ — любое число.

№3.

а) Уравнение:

$$\alpha =(n-1)\theta \mathrm{.}$$

Для нахождения $\theta$, разделим обе части уравнения на $n-1$:

$$\theta =\frac{\alpha }{n-1}\mathrm{.}$$

б) Из того же уравнения:

$$\alpha =(n-1)\theta ,$$

разделим обе части на $\theta$:

$$n-1=\frac{\alpha }{\theta }\mathrm{.}$$

Затем, добавим 1 к обеим частям:

$$n=\frac{\alpha }{\theta }+1.$$

№4.

а) Выражение:

$$\frac{16x^{3}y}{20x^2{y}^2}\mathrm{.}$$

Приведем дробь к простому виду, разделив числитель и знаменатель:

$$=\frac{16}{20}\cdot \frac{x^3}{x^2}\cdot \frac{y}{y^2}=\frac{4}{5}\cdot x\cdot \frac{1}{y}=\frac{4x}{5y}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$\frac{a^2-ab}{a^2}\mathrm{.}$$

Извлекаем общий множитель $a$ из числителя:

$$=\frac{a(a-b)}{a^2}=\frac{a-b}{a}\mathrm{.}$$

в) Выражение:

$$\frac{m^2-n^2}{mn+n^2}\mathrm{.}$$

Используем формулу разности квадратов для числителя:

$$=\frac{(m-n)(m+n)}{n(m+n)}=\frac{m-n}{n}\mathrm{.}$$

г) Выражение:

$$\frac{c^2+c}{c^2-c}\mathrm{.}$$

Извлекаем общий множитель $c$ из числителя и знаменателя:

$$=\frac{c(c+1)}{c(c-1)}=\frac{c+1}{c-1}\mathrm{.}$$

д) Выражение:

$$\frac{z-1}{a-az}\mathrm{.}$$

Извлекаем $a$ из знаменателя:

$$=\frac{z-1}{a(1-z)}=-\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

№5.

а) Выражение:

$$\frac{x+1}{x-1}-\frac{1}{x-1}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{x+1-1}{x-1}=\frac{x}{x-1}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2ab}{a+b}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b}=\frac{(a+b{)}^2}{a+b}=a+b\mathrm{.}$$

№6.

а) Выражение:

$$\frac{1}{2a}-\frac{1}{3a}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{3-2}{6a}=\frac{1}{6a}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$\frac{m}{m-n}+\frac{m}{m+n}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{m(m+n)+m(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{m^2+mn+m^2-mn}{m^2-n^2}=\frac{2m^2}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

в) Выражение:

$$\frac{4x}{x^2-y^2}-\frac{4}{x+y}\mathrm{.}$$

Используем разность квадратов для знаменателя:

$$=\frac{4x-4(x-y)}{x^2-y^2}=\frac{4x-4x+4y}{x^2-y^2}=\frac{4y}{x^2-y^2}\mathrm{.}$$

г) Выражение:

$$\frac{5a}{a-5}+\frac{25}{5-a}\mathrm{.}$$

Меняем знак во втором слагаемом:

$$=\frac{5a}{a-5}-\frac{25}{a-5}=\frac{5a-25}{a-5}=5.$$

№7.

а) Выражение:

$$\frac{3b}{a-b}+3.$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{3b+3(a-b)}{a-b}=\frac{3b+3a-3b}{a-b}=\frac{3a}{a-b}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$2c-\frac{bc-6}{b}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{2bc-bc+6}{b}=\frac{bc+6}{b}\mathrm{.}$$

№8.

а) Выражение:

$$\frac{x^{2}y}{2z}\cdot \frac{z^2}{2xy}\mathrm{.}$$

Умножаем дроби:

$$=\frac{x^{2}y\cdot z^2}{2z\cdot 2xy}=\frac{xz}{4}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$\frac{4b}{a^2-b^2}\cdot \frac{a+b}{2b}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{4b\cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)\cdot 2b}=\frac{2}{a-b}\mathrm{.}$$

в) Выражение:

$$2ac\cdot \frac{3c}{4a^2}\mathrm{.}$$

Умножаем дроби:

$$=\frac{2ac\cdot 3c}{4a^2}=\frac{3c^2}{2a^2}\mathrm{.}$$

№9.

а) Выражение:

$$\frac{m+1}{m}:\frac{3m+3}{m}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{m+1}{m}\cdot \frac{m}{3(m+1)}=\frac{m(m+1)}{m\cdot 3(m+1)}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$\frac{x^2-xy}{y}:(x-y)\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{x(x-y)}{y\cdot (x-y)}=\frac{x}{y}\mathrm{.}$$

№10.

а) Выражение:

$$\frac{10}{a^2-4}-\frac{3}{a-2}+\frac{4}{a+2}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{10-3(a+2)+4(a-2)}{a^2-4}=\frac{10-3a-6+4a-8}{a^2-4}=\frac{a-4}{a^2-4}\mathrm{.}$$

б) Выражение:

$$(\frac{a}{a-b}-\frac{a}{a+b})\cdot \frac{a-b}{ab}\mathrm{.}$$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{ab}=\frac{2ab\cdot (a-b)}{(a-b)(a+b)\cdot ab}=\frac{2}{a+b}\mathrm{.}$$

в) Выражение:

$$\frac{2c}{c-3}-\frac{c^2+c}{4}\cdot \frac{c+1}{8}\mathrm{.}$$

Умножаем дроби:

$$=\frac{2c}{c-3}-\frac{c(c+1)\cdot 8}{4\cdot (c+1)}=\frac{2c}{c-3}-\frac{2c}{1}=\frac{8c-2c^2}{c-3}\mathrm{.}$$

Подробное решение с 11 по 18 номера

№11.

Дано выражение:

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\mathrm{.}$$

а) Для нахождения выражения для $a$, сначала переведем все выражения в общий знаменатель:

$$\frac{1}{a}=\frac{c-b}{bc}\mathrm{.}$$

Теперь, перевернув обе части уравнения, получаем:

$$a=\frac{bc}{c-b}\mathrm{.}$$

Ответ: $a=\frac{bc}{c-b}$.

б) Для нахождения выражения для $c$, используем исходное уравнение и переведем все выражения в общий знаменатель:

$$\frac{1}{c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\mathrm{.}$$

Преобразуем:

$$\frac{1}{c}=\frac{a-b}{ab}\mathrm{.}$$

Теперь, перевернув обе части уравнения, получаем:

$$c=\frac{ab}{a-b}\mathrm{.}$$

Ответ: $c=\frac{ab}{a-b}$.

№12.

а) Дано выражение:

$$8^{-2}=\frac{1}{8^2}=\frac{1}{64}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1}{64}$.

б) Дано выражение:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}\mathrm{.}$$

Переводим отрицательную степень:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}\mathrm{.}$$

Ответ: $3\frac{3}{8}$.

№13 

Нам даны три выражения с отрицательными степенями, и необходимо упростить их.

1. $a^{-2}\cdot a^6$

Для того чтобы упростить выражение, применим правило степеней, которое гласит, что при умножении чисел с одинаковыми основаниями, их степени складываются.

$$a^{-2}\cdot a^6=a^{-2+6}=a^4\mathrm{.}$$

Ответ: $a^4$.

2. $\frac{x^3}{x^5}$

Здесь у нас деление чисел с одинаковыми основаниями. Для упрощения этого выражения используем правило степеней для деления, которое гласит, что при делении чисел с одинаковыми основаниями, их степени вычитаются:

$$\frac{x^3}{x^5}=x^{3-5}=x^{-2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x^{-2}$.

3. ${\left(c^{10}\right)}^{-3}$

Здесь мы имеем степень в степени. Для упрощения этого выражения используем правило степеней, которое гласит, что при возведении числа в степень, степень перемножаются:

$${\left(c^{10}\right)}^{-3}=c^{10\cdot (-3)}=c^{-30}\mathrm{.}$$

Ответ: $c^{-30}$.

№14.

а) Дано выражение:

$$\frac{a^{-12}\cdot a^6}{a^7}\mathrm{.}$$

Применим правило степеней для чисел с одинаковыми основаниями:

$$a^{-12+6-7}=a^{-13}\mathrm{.}$$

Ответ: $a^{-13}$.

б) Дано выражение:

$$\frac{(3x^{-2}{)}^{-3}}{3^{-2}\cdot x^{-1}}\mathrm{.}$$

Решаем сначала числитель:

$$(3x^{-2}{)}^{-3}=3^{-3}\cdot x^6=\frac{1}{27}\cdot x^6\mathrm{.}$$

Теперь знаменатель:

$$3^{-2}\cdot x^{-1}=\frac{1}{9}\cdot x^{-1}\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение будет:

$$\frac{\frac{1}{27}\cdot x^6}{\frac{1}{9}\cdot x^{-1}}=\frac{9\cdot x^7}{27}=\frac{x^7}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{x^7}{3}$.

№15.

а) Дано выражение:

$$1280000=1,28\cdot 1000000=1,28\cdot {10}^6\mathrm{.}$$

Ответ: $1,28\cdot {10}^6$.

б) Дано выражение:

$$0,0000071=7,1:1000000=7,1\cdot {10}^{-6}\mathrm{.}$$

Ответ: $7,1\cdot {10}^{-6}$.

№16.

а) Дано выражение:

$$\frac{1,8\cdot {10}^9}{9\cdot {10}^{11}}<0,005.$$

Решим:

$$\frac{1,8}{9\cdot {10}^2}=\frac{1,8}{900}=0,002\text{и}0,002<0,005.$$

Ответ: $0,002<0,005$ верно.

б) Дано выражение:

$$(1,4\cdot {10}^{-10})(2\cdot {10}^7)<0,003.$$

Решим:

$$1,4\cdot 2\cdot {10}^{-10+7}=2,8\cdot {10}^{-3}\mathrm{.}$$

Итак:

$$2,8\cdot {10}^{-3}<3\cdot {10}^{-3}\mathrm{.}$$

Ответ: $2,8\cdot {10}^{-3}<3\cdot {10}^{-3}$ верно.

№17.

Нам нужно решить неравенство:

$$\frac{x}{3}-\frac{2x-1}{4}=1.$$

Умножаем обе стороны на 12 (наименьший общий знаменатель):

$$4x-3(2x-1)=12.$$

Раскрываем скобки:

$$4x-6x+3=12.$$

Упрощаем:

$$-2x+3=12.$$

Вычитаем 3 с обеих сторон:

$$-2x=9.$$

Делим на -2:

$$x=-4,5.$$

Ответ: $x=-4,5$.

№18.

Пусть расстояние от турбазы до станции равно $x$ км, тогда первый турист был в пути $\frac{x}{4}$ ч, а второй турист $\frac{x}{5}$ ч. Составим уравнение:

$$\frac{x}{4}-\frac{x}{5}=1.$$

Умножим обе части на 20 (наименьший общий знаменатель):

$$5x-4x=20.$$

Упрощаем:

$$x=20\text{ км}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=20$ км.