ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 203 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Замените выражение равным выражением так, чтобы перед дробью не было знака «минус». Выполните задание разными способами:

а) $-\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}$;

б) $-\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-2)(x-y)}$.

а)

$$-\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(a-c)}{c-b}=\frac{(b-a)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(c-a)}{b-c};$$

б)

$$\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}=\frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(y-x)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$$

а) Дано выражение:

$$-\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}\mathrm{.}$$

Перепишем отрицательную дробь.
Отрицательную дробь можно преобразовать, изменив знак числителя или знаменателя. Мы можем изменить знак в знаменателе, так как изменение знака знаменателя приводит к изменению знака всей дроби:

$$-\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(a-c)}{-(b-c)}\mathrm{.}$$

Приведем знаменатель к более удобной форме.
Теперь, используя свойство, что $-(b-c)=(c-b)$, можем переписать дробь так:

$$\frac{(a-b)(a-c)}{-(b-c)}=\frac{(a-b)(a-c)}{c-b}\mathrm{.}$$

Поменяем порядок множителей в числителе.
Теперь числитель можно переписать, меняя местами $a-b$ и $b-a$ (что эквивалентно умножению на -1):

$$\frac{(a-b)(a-c)}{c-b}=\frac{(b-a)(a-c)}{b-c}\mathrm{.}$$

Поменяем местами $a-c$ и $c-a$.
В числителе, если мы поменяем местами $a-c$ и $c-a$, то также получим минус в числителе. Поскольку дробь при этом не меняет своего значения (мы просто меняем местами множители), то:

$$\frac{(b-a)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(c-a)}{b-c}\mathrm{.}$$

Таким образом, конечное выражение:

$$-\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(a-c)}{c-b}=\frac{(b-a)(a-c)}{b-c}=\frac{(a-b)(c-a)}{b-c}\mathrm{.}$$

б) Дано выражение:

$$\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}\mathrm{.}$$

Перепишем знаменатель в более удобной форме.
Для удобства можно поменять местами $x-z$ и $z-x$, получив минус:

$$\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}\mathrm{.}$$

Поменяем местами $y-z$ и $z-y$ в числителе.
Поменяв местами $y-z$ и $z-y$ в числителе, мы получим минус:

$$\frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}=\frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(y-x)}\mathrm{.}$$

Изменение знака в дроби.
Когда мы меняем местами $x-z$ и $z-x$, то дробь получает знак минус в знаменателе, который меняет местами $x-y$ и $y-x$:

$$\frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(y-x)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}\mathrm{.}$$

Таким образом, конечное выражение:

$$\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}=\frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(y-x)}=\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$$