ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 201 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения переменной, при которых значение дроби равно нулю:
а) $\frac{5a — 4}{a + 1}$

б) $\frac{2m^2}{m — 2}$

в) $\frac{(n — 6)(2n + 10)}{6n^2}$

г) $\frac{b(b + 2)(3b — 6)}{b — 10}$

а) $\frac{5a — 4}{a + 1} = 0, \quad a + 1 \ne 0, \quad a \ne -1.$

$5a — 4 = 0$

$5a = 4$

$a = 0.8.$

Ответ: $a = 0.8.$

б) $\frac{2m^2}{m — 2} = 0, \quad m — 2 \ne 0, \quad m \ne 2.$

$2m^2 = 0$

$m = 0.$

Ответ: $m = 0.$

в) $\frac{(n — 6)(2n + 10)}{6n^2} = 0, \quad 6n^2 \ne 0, \quad n \ne 0.$

$(n — 6)(2n + 10) = 0$

$n — 6 = 0, \quad 2n + 10 = 0$

$n = 6 \quad \quad \quad 2n = -10$

$\quad \quad \quad \quad \quad n = -5.$

Ответ: $n = -5; \; n = 6.$

г) $\frac{b(b + 2)(3b — 6)}{b — 10} = 0, \quad b — 10 \ne 0, \quad b \ne 10.$

$b(b + 2)(3b — 6) = 0$

$b = 0, \quad b + 2 = 0, \quad 3b — 6 = 0$

$b = 0, \quad b = -2, \quad 3b = 6$

$b=2$

Ответ: $b=\pm 2;$

а) $\frac{5a — 4}{a + 1} = 0, \quad a + 1 \ne 0, \quad a \ne -1.$

$$
Чтобы дробь равнялась нулю, достаточно и необходимо, чтобы её числитель был равен нулю при ненулевом знаменателе.
$$
$5a — 4 = 0$
$5a = 4$
$a = \frac{4}{5} = 0.8$
Проверка: подставим $a = \frac{4}{5}$ в знаменатель: $a + 1 = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \ne 0$. Подставим в числитель: $5\cdot\frac{4}{5} — 4 = 4 — 4 = 0$. Значит решение допустимо.

Ответ: $a = 0.8.$

б) $\frac{2m^2}{m — 2} = 0, \quad m — 2 \ne 0, \quad m \ne 2.$

$$
Числитель должен быть равен нулю при ненулевом знаменателе. Так как множитель $2$ ненулевой, эквивалентно $m^2 = 0$
$$
$2m^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$ (кратный корень степени 2).
Проверка: для $m = 0$ знаменатель $m — 2 = -2 \ne 0$, числитель $2\cdot 0^2$. Решение допустимо.

Ответ: $m = 0.$

в) $\frac{(n — 6)(2n + 10)}{6n^2} = 0, \quad 6n^2 \ne 0, \quad n \ne 0.$

$$
Запишем числитель в разложенном виде: $2n + 10 = 2(n + 5)$, значит числитель равен $2(n — 6)(n + 5)$. По свойству произведения: произведение равно нулю, если хотя бы один сомножитель равен нулю. При этом знаменатель не должен быть нулём.
$$
$(n — 6)(2n + 10) = 0 \Rightarrow n — 6 = 0$ или $2n + 10 = 0$
Если $n — 6 = 0$, то $n = 6$
Если $2n + 10 = 0$, то $2n=-10\Rightarrow n=$.
Проверка: для $n = 6$ знаменатель $6n^2 = 6\cdot 36 = 216 \ne 0$. Для $n=$ знаменатель $6n^2 = 6\cdot 25 = 150 \ne 0$. В обоих случаях числитель обращается в ноль.

Ответ: $n = -5; \; n = 6.$

г) $\frac{b(b + 2)(3b — 6)}{b — 10} = 0, \quad b — 10 \ne 0, \quad b \ne 10.$

$$
Числитель равен произведению трёх множителей. Заметим, что $3b — 6 = 3(b — 2)$. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при условии ненулевого знаменателя.
$$
Решаем уравнения для каждого множителя: $b = 0$, $b+2=0\Rightarrow b=$, $3b — 6 = 0 \Rightarrow 3b = 6 \Rightarrow b = 2$.
Проверка: для $b = 0, -2, 2$ знаменатель $b — 10$ равен соответственно $-10, -12, -8$ все не равны нулю, а числитель в каждом случае обращается в ноль.

Ответ: $b = -2; \; b = 0; \; b = 2.$