ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 194 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях $n$ можно сократить дробь:

а) $\frac{5}{n+3}$;

б) $\frac{7}{n+2}$;

в) $\frac{n+1}{10}$.

a)

$$\frac{5}{n+3};$$

Чтобы число $n+3$ делилось на 5, надо, чтобы $n$ при делении на 5 давало остаток, равный 2. Тогда:

$$n=5k+2,\text{где }k=0;1;2;\dots$$

б)

$$\frac{7}{n+2};$$

Чтобы число $n+2$ делилось на 7, надо, чтобы $n$ при делении на 7 давало остаток, равный 5. Тогда:

$$n=7k+5,\text{где }k=0;1;2;\dots$$

в)

$$\frac{n+1}{10};$$

$$\frac{10k+r+1}{10}=k+\frac{r+1}{10}\mathrm{.}$$

$$\begin{array}{ccccccccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ r+1& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{общий делитель}& \text{нет}& \text{есть}& \text{нет}& \text{есть}& \text{есть}& \text{есть}& \text{нет}& \text{есть}& \text{есть}& \text{есть}\end{array}$$$$n=10k+9,\text{где }k\text{ — любое натуральное число или }0.$$

a) Дано выражение:

$$\frac{5}{n+3};$$

Нужно, чтобы число $n+3$ делилось на 5. Для этого нам необходимо, чтобы $n+3$ при делении на 5 давало остаток 0, то есть:

$$n+3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)\mathrm{.}$$

Преобразуем это в выражение для $n$:

$$n\equiv -3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)\mathrm{.}$$

Так как $-3\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ (прибавляем 5, чтобы получить положительное число), то $n$ должно при делении на 5 давать остаток, равный 2. Это значит, что $n$ можно выразить как:

$$n=5k+2,$$

где $k$ — целое число. Таким образом, возможные значения $n$ для разных значений $k$ будут следующими:

$$n=5(0)+2=2,n=5(1)+2=7,n=5(2)+2=12,\dots$$

Ответ: $n=5k+2$, где $k=0,1,2,\dots$.

б) Дано выражение:

$$\frac{7}{n+2};$$

Нужно, чтобы число $n+2$ делилось на 7. То есть:

$$n+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$

Преобразуем это в выражение для $n$:

$$n\equiv -2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\mathrm{.}$$

Так как $-2\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ (прибавляем 7, чтобы получить положительное число), то $n$ должно при делении на 7 давать остаток, равный 5. Это значит, что $n$ можно выразить как:

$$n=7k+5,$$

где $k$ — целое число. Таким образом, возможные значения $n$ для разных значений $k$ будут следующими:

$$n=7(0)+5=5,n=7(1)+5=12,n=7(2)+5=19,\dots$$

Ответ: $n=7k+5$, где $k=0,1,2,\dots$.

в) Дано выражение:

$$\frac{n+1}{10};$$

Для чисел вида $\frac{10k+r+1}{10}$ можно записать следующее:

$$\frac{10k+r+1}{10}=k+\frac{r+1}{10},$$

где $r$ — остаток от деления $n+1$ на 10. Рассмотрим все возможные остатки $r$, которые могут быть от 0 до 9:

$$\begin{array}{ccccccccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ r+1& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{общий делитель}& \text{нет}& \text{есть}& \text{нет}& \text{есть}& \text{есть}& \text{есть}& \text{нет}& \text{есть}& \text{есть}& \text{есть}\end{array}$$

Из этой таблицы видно, что $r+1$ делится на 10 только в случае, когда $r=9$. Это означает, что $n$ можно выразить как:

$$n=10k+9,$$

где $k$ — любое натуральное число или 0.